Sempre polinomi :)

[cntrone]

Dopo aver detto per quali n il polinomio $P(x,y)=(x+y+1)^n-x^n-y^n-1$ è
divisibile per $(x+y)(x+1)(y+1)$ , scomporre in prodotto di fattori il polinomio
$(x+y+1)^3-x^3-y^3-1$

ragazzi siete tutti di grande aiuto..spero non vi rompa troppo con tutti questi problemi..ciao

[Sk_Anonymous]

Basta applicare il teorema di Ruffini che dice "$P(x)$ è divisibile per $(x-a)$ sse $P(a)=0$", quindi il polinomio
$P(x,y)=(x+y+1)^n-x^n-y^n-1$ è divisibile per $(x+y)$ se $P(-y,y)=0$, sostituendo si vede che questo può accadere solo se $n$ è dispari
allo stesso modo si verifica che $P(x,y)$ è divisibile per $(x+1)$ e per $(y+1)$ solo se $n$ è dispari, a questo punto scomporre in prodotto di fattori il polinomio $(x+y+1)^3-x^3-y^3-1$ diventa piuttosto semplice, n è dispari, quindi il polinomio è divisibile per i tre fattori, inoltre il polinomio è di terzo grado, quindi è divisibile solo per tre fattori di primo grado, segue che $(x+y+1)^3-x^3-y^3-1=(x+y)(x+1)(y+1)$
Ciao

[cntrone]

grazie ..chiarissimo..ciao ciao