Semplificazione polinomio generale
Salve avrei un quesito da proporre, spero sia la sezione giusta.
Io ho la seguente espressione:
$ ((a+1)^n-1)/a $
Ho osservato che per qualsiasi valore di n maggiore di 0 avrò sempre un polinomio che ha termine noto 1 e quindi va a semplificarsi con il -1 a numeratore, raccogliendo poi "a" per tutti i termini questa si semplifica con il denominatore.
allego esempio per chiarezza:
n=1 ottengo $(a+1-1)/a$ semplificando viene 1
n=2 ottengo $(a^2+2a+1-1)/a$ ==> $(a(a+2))/a$ ==> risultato a+2
n=3 ottengo $(a^3+3a^2+3a+1-1)/a$ ==> $(a(a^2+3a+3))/a$ ==> risultato $a^2+3a+3$
etc.
è possibile scrivere questa espressione in una forma semplificata?
Io ho la seguente espressione:
$ ((a+1)^n-1)/a $
Ho osservato che per qualsiasi valore di n maggiore di 0 avrò sempre un polinomio che ha termine noto 1 e quindi va a semplificarsi con il -1 a numeratore, raccogliendo poi "a" per tutti i termini questa si semplifica con il denominatore.
allego esempio per chiarezza:
n=1 ottengo $(a+1-1)/a$ semplificando viene 1
n=2 ottengo $(a^2+2a+1-1)/a$ ==> $(a(a+2))/a$ ==> risultato a+2
n=3 ottengo $(a^3+3a^2+3a+1-1)/a$ ==> $(a(a^2+3a+3))/a$ ==> risultato $a^2+3a+3$
etc.
è possibile scrivere questa espressione in una forma semplificata?
Risposte
non so se con "forma semplificata" intendi quello che sto per proporre e non so nemmeno se quello che sto per proporre tu l'abbia mai fatto, ma ci provo lo stesso.
la formula del binomio di Newton afferma che $(a+b)^n=sum_(k=0)^(n)((n),(k))a^(n-k)b^k$
nel nostro caso $a=1 ^^ b=a$ e quindi la formula si semplifica in $(1+a)^n=sum_(k=0)^(n)((n),(k))a^k$
esplicitando il valore per $k=0$, cioè 1 otteniamo che $(1+a)^n-1=1+sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^k -1=sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^k$
in conclusione
$((1+a)^n -1)/a=sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^(k-1)$
dove con $((n),(k))$ intendo il coefficiente binomiale e cioè $((n),(k))=(n!)/(k! (n-k)!)$
la formula del binomio di Newton afferma che $(a+b)^n=sum_(k=0)^(n)((n),(k))a^(n-k)b^k$
nel nostro caso $a=1 ^^ b=a$ e quindi la formula si semplifica in $(1+a)^n=sum_(k=0)^(n)((n),(k))a^k$
esplicitando il valore per $k=0$, cioè 1 otteniamo che $(1+a)^n-1=1+sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^k -1=sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^k$
in conclusione
$((1+a)^n -1)/a=sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^(k-1)$
dove con $((n),(k))$ intendo il coefficiente binomiale e cioè $((n),(k))=(n!)/(k! (n-k)!)$
La sezione è "Secondaria II grado", ho l'impressione, cooper, che il tuo sfoggio di teoria copia/incolla qui sia fuori luogo.
Piuttosto si può dire che, dopo i passaggi corretti e ben ragionati di robrizio, ci troveremo sempre un trinomio del tipo
$a^(n-1) + na^(n-2)+.....+n$, con $a>0$ e $n>0$, o a forme sempre più complesse (ma analoghe) all'aumentare di $n$
le quali, essendo la somma di termini positivi, è evidente che non varranno zero per alcun valore di a e di n. Ergo il polinomio non è ulteriormente scomponibile nel campo dei numeri reali.
Cordialmente.
Marco
Piuttosto si può dire che, dopo i passaggi corretti e ben ragionati di robrizio, ci troveremo sempre un trinomio del tipo
$a^(n-1) + na^(n-2)+.....+n$, con $a>0$ e $n>0$, o a forme sempre più complesse (ma analoghe) all'aumentare di $n$
le quali, essendo la somma di termini positivi, è evidente che non varranno zero per alcun valore di a e di n. Ergo il polinomio non è ulteriormente scomponibile nel campo dei numeri reali.
Cordialmente.
Marco
"teorema55":
La sezione è "Secondaria II grado", ho l'impressione, cooper, che il tuo sfoggio di teoria copia/incolla qui sia fuori luogo
smooth......
non avendo fatto io lo scientifico non so se l'utente stia facendo quel liceo o cosa si tratti nel programma dei 5 anni e ho pensato potessero star trattando quell'argomento, tutto qui.se non servisse e fosse fuori programma basta ignorare il mio intervento oppure per curiosità dargli un'occhiata
Quando andavo al liceo io (più di dieci anni fa), non era programma del liceo fare i coefficienti binomiali, ma non è la prima volta che li vedo nelle sezioni delle secondarie quindi può essere cambiato il programma. In fondo ho visto quesiti sulla probabilità e sulle trasformate di Laplace, argomenti che non ho mai visto alle superiori.
Sarà @robrizio a dirci se capisce la risposta, se intendeva altro e/o se ha altri dubbi.
Sarà @robrizio a dirci se capisce la risposta, se intendeva altro e/o se ha altri dubbi.
In ogni caso lo avrei risolto in questo modo:
tenendo conto che $A^n-B^n=(A-B)(A^(n-1)+A^(n-2)B+.....+AB^(n-2)+B^(n-1))$ il numeratore diventa
$(a+1)^n-1=[(a+1)-1]*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1]=$
$= a*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1]$
Quindi
$ ((a+1)^n-1)/a =(a*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1])/a=$
$=(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1$
PS con i miei studenti dello scientifico ho fatto un po' di coefficienti binomiali che, anche se solo marginalmente, comunque rientrano nei nuovi programmi. Tuttavia vedo questo esercizio più adatto a quelli bravetti in uscita dal biennio, per questo motivo lo risolverei semplicemente con la scomposizione della differenza di potenze.
tenendo conto che $A^n-B^n=(A-B)(A^(n-1)+A^(n-2)B+.....+AB^(n-2)+B^(n-1))$ il numeratore diventa
$(a+1)^n-1=[(a+1)-1]*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1]=$
$= a*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1]$
Quindi
$ ((a+1)^n-1)/a =(a*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1])/a=$
$=(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1$
PS con i miei studenti dello scientifico ho fatto un po' di coefficienti binomiali che, anche se solo marginalmente, comunque rientrano nei nuovi programmi. Tuttavia vedo questo esercizio più adatto a quelli bravetti in uscita dal biennio, per questo motivo lo risolverei semplicemente con la scomposizione della differenza di potenze.
Ringrazio tutti per la celere risposta, ho approfondito la risposta di Cooper e le altre e posso ritenermi soddisfatto. Ho compreso a pieno tutti i vostri consigli, effettivamente dal momento che alle superiori serie e coefficienti binomiali non si fanno di solito chiedo al moderatore se è il caso di spostare il post nella sezione giusta. Un saluto a tutti
Direi che visto il livello di difficoltà non molto alto, può benissimo rimanere qui. Se in seguito avrai domande più difficili sulle serie potrai postarle in Analisi.
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