Semplificazione di un espressione
Salve a tutti. Nell'oggetto ho inserito un titolo un pò ambiguo perchè comunque non so come definire questo problema. In poche parole è un problema di ingegneria in particolare scienza delle costruzioni ma ciò per cui chiedo aiuto è di tipo puramente matematico e bastano(penso)conoscenze di scuola superiore. Ho postato il problema iniziale nella sezione ingegneria ma lì non ho purtroppo ricevute risposte, allora ho provato a risolverlo da solo ma mi sono bloccato per problemi matematici.
Praticamente devo dimostrare o verificare una semplice(per voi!) relazione matematica.
data la seguente relazione $K=\frac{M_y}{I_y*cos(b)}$ sapendo che$tan(b)=\frac{I_y}{I_z}*\frac{M_z}{M_y}$ dovrei dimostrare/verificare che
$K=\frac{M_z}{I_z}sin(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)$ o equivalentemente che $K^2=(\frac{M_z}{I_z})^2+(\frac{M_y}{I_y})^2$
è possibile?
Grazie a tutti coloro mi risponderanno
Praticamente devo dimostrare o verificare una semplice(per voi!) relazione matematica.
data la seguente relazione $K=\frac{M_y}{I_y*cos(b)}$ sapendo che$tan(b)=\frac{I_y}{I_z}*\frac{M_z}{M_y}$ dovrei dimostrare/verificare che
$K=\frac{M_z}{I_z}sin(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)$ o equivalentemente che $K^2=(\frac{M_z}{I_z})^2+(\frac{M_y}{I_y})^2$
è possibile?
Grazie a tutti coloro mi risponderanno
Risposte
Dovrebbe seguire dalla relazione $1/cos(b)^2=\frac{\sin(b)^2+\cos(b)^2}{\cos(b)^2}=1+\tan(b)^2$
In effetti la seconda relazione viene usando (per esempio) la formula che ho indicato. Non mi torna invece la prima.
Quello che sicuramente viene e'
(*) $K\cos(b)=M_y/l_j$ e $K\sin(b)=M_z/l_z$
(la prima si ricava subito dall'espressione di $K$ - la seconda deriva dalla prima moltiplicando per $\tan(b)$) - oltretutto da (*) prendendo i quadrati e sommandoli si trova la seconda
relazione
Quello che sicuramente viene e'
(*) $K\cos(b)=M_y/l_j$ e $K\sin(b)=M_z/l_z$
(la prima si ricava subito dall'espressione di $K$ - la seconda deriva dalla prima moltiplicando per $\tan(b)$) - oltretutto da (*) prendendo i quadrati e sommandoli si trova la seconda
relazione
SIIIIIII!
Grazie mille. Grazie davvero. Mamma mia. Non ho parole.
Allora per chi fosse interessato
$\frac{M_y}{I_y}cos(b)*\frac{1}{cos^2(b)}$ $=$ $\frac{M_y}{I_y}cos(b)*(1+tan^2(b))=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)*tan^2(b)=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)*\frac{(I_y*M_z)^2}{(I_z*M_y)^2}$ $=$ $\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z^2}{I_z^2}*cos(b)*\frac{I_y}{M_y}=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z^2}{I_z^2}*sin(b)*\frac{I_z*M_y*I_y}{I_y*M_z*M_y}=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z}{I_z}*sin(b)$
Grazie mille. Grazie davvero. Mamma mia. Non ho parole.
Allora per chi fosse interessato
$\frac{M_y}{I_y}cos(b)*\frac{1}{cos^2(b)}$ $=$ $\frac{M_y}{I_y}cos(b)*(1+tan^2(b))=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)*tan^2(b)=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)*\frac{(I_y*M_z)^2}{(I_z*M_y)^2}$ $=$ $\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z^2}{I_z^2}*cos(b)*\frac{I_y}{M_y}=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z^2}{I_z^2}*sin(b)*\frac{I_z*M_y*I_y}{I_y*M_z*M_y}=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z}{I_z}*sin(b)$
"Klaus":
SIIIIIII!
Grazie mille. Grazie davvero. Mamma mia. Non ho parole.
Allora per chi fosse interessato
$\frac{M_y}{I_y}cos(b)*\frac{1}{cos^2(b)}$ $=$ $\frac{M_y}{I_y}cos(b)*(1+tan^2(b))=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)*tan^2(b)=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)*\frac{(I_y*M_z)^2}{(I_z*M_y)^2}$ $=$ $\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z^2}{I_z^2}*cos(b)*\frac{I_y}{M_y}=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z^2}{I_z^2}*sin(b)*\frac{I_z*M_y*I_y}{I_y*M_z*M_y}=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z}{I_z}*sin(b)$
Mi sembra che il quinto segno di eguaglianza riga sia sbagliato. Come mai $cos(b)=\sin(b)\frac{l_z M_y}{l_y M_z}$ ?
Secondo me, come ho scritto prima, questa formula e' falsa, mentre e' vera quella con $K^2$ (e le altre del mio post precedente.
"Klaus":
SIIIIIII!
Grazie mille. Grazie davvero. Mamma mia. Non ho parole.
Allora per chi fosse interessato
$\frac{M_y}{I_y}cos(b)*\frac{1}{cos^2(b)}$ $=$ $\frac{M_y}{I_y}cos(b)*(1+tan^2(b))=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)*tan^2(b)=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_y}{I_y}*cos(b)*\frac{(I_y*M_z)^2}{(I_z*M_y)^2}$ $=$ $\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z^2}{I_z^2}*cos(b)*\frac{I_y}{M_y}=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z^2}{I_z^2}*sin(b)*\frac{I_z*M_y*I_y}{I_y*M_z*M_y}=\frac{M_y}{I_y}cos(b)+\frac{M_z}{I_z}*sin(b)$
Mi sembra che il quinto segno di eguaglianza riga sia sbagliato. Come mai $cos(b)=\sin(b)\frac{l_z M_y}{l_y M_z}$ ?
Secondo me, come ho scritto prima, questa formula e' falsa, mentre e' vera quella con $K^2$ (e le altre del mio post precedente.
Spero di non sbagliarmi se no addio...
$tan(b)=\frac{sin(b)}{cos(b)}=\frac{I_y*M_z}{I_z*M_y}$ per cui $cos(b)=sin(b)*\frac{I_z*M_y}{I_y*M_z}$
e quindi tutto il resto.
So che è molto più difficile senza sapere cosa si sta scrivendo. Però ti volevo dire che se è vera una delle relazioni che dovevo verificare (cioè se se ne ricava una dalle ipotesi che ho scritto) è necessariamente vera anche l'altra perchè K in verità rappresenta un vettore le cui componenti, proprio come hai ricavato tu sono:$\frac{M_y}{I_y}$ e $\frac{M_z}{I_z}$ (componenti ortogonali). Per cui la prima rappresenta la risultante mediante composizione delle proiezioni delle componenti lungo la direzione di $\vec{K}$ la seconda rappresenta un applicazione del teorema di pitagora.
$tan(b)=\frac{sin(b)}{cos(b)}=\frac{I_y*M_z}{I_z*M_y}$ per cui $cos(b)=sin(b)*\frac{I_z*M_y}{I_y*M_z}$
e quindi tutto il resto.
So che è molto più difficile senza sapere cosa si sta scrivendo. Però ti volevo dire che se è vera una delle relazioni che dovevo verificare (cioè se se ne ricava una dalle ipotesi che ho scritto) è necessariamente vera anche l'altra perchè K in verità rappresenta un vettore le cui componenti, proprio come hai ricavato tu sono:$\frac{M_y}{I_y}$ e $\frac{M_z}{I_z}$ (componenti ortogonali). Per cui la prima rappresenta la risultante mediante composizione delle proiezioni delle componenti lungo la direzione di $\vec{K}$ la seconda rappresenta un applicazione del teorema di pitagora.
"Klaus":
Spero di non sbagliarmi se no addio...
$tan(b)=\frac{sin(b)}{cos(b)}=\frac{I_y*M_z}{I_z*M_y}$ per cui $cos(b)=sin(b)*\frac{I_z*M_y}{I_y*M_z}$
e quindi tutto il resto.
So che è molto più difficile senza sapere cosa si sta scrivendo. Però ti volevo dire che se è vera una delle relazioni che dovevo verificare (cioè se se ne ricava una dalle ipotesi che ho scritto) è necessariamente vera anche l'altra perchè K in verità rappresenta un vettore le cui componenti, proprio come hai ricavato tu sono:$\frac{M_y}{I_y}$ e $\frac{M_z}{I_z}$ (componenti ortogonali). Per cui la prima rappresenta la risultante mediante composizione delle proiezioni delle componenti lungo la direzione di $\vec{K}$ la seconda rappresenta un applicazione del teorema di pitagora.
E' proprio quanto dici che non mi fa capire come possa essere vera la prima formula. Siano $V_1=M_y/l_y$ e $V_2=M_z/l_z$ le componenti di un vettore e $V_1^2+V_2^2=K^2$ individui la
lunghezza $K$ del vettore. Inoltre se $t=V_2/V_1$ $t$ deve essere $\tan(b)$ dove $b$ e' l'angolo che il vettore forma con il primo asse. Ne segue $V_1=K\cos(b)$ e $V_2=K\sin(b)$
-- come diavolo puo' venire $K=V_1\cos(b)+V_2\sin(b)$??
Purtroppo faccio fatica a seguire i calcoli sul computer - intanto mando questo messaggio e poi provo a rifare il conto a mano
Hai ragione tu - non avevo mai fatto caso a questa formula - in effetti (faccio i tuoi stessi calcoli, un filino piu' brevemente)
se $V_1=K\cos(b)$ e $V_2=K\sin(b)$ allora
$K=V_1/cos(b)=V_1\cos(b) 1/\cos^2(b)=V_1\cos(b)(1+\tan^2(b))=V_1\cos(b)+V_2\cos(b)\tan^2(b)=V_1\cos(b)+V_1\sin(b)\tan(b)=V_1\cos(b)+V_1\sin(b) V_2/V_2=V_1\cos(b)+V_2\sin(b)$
ACHHH - ora che la guardo e' chiaro: credo sia uno dei teoremi di Euclide
Scusa se ti ho fatto impaurire
se $V_1=K\cos(b)$ e $V_2=K\sin(b)$ allora
$K=V_1/cos(b)=V_1\cos(b) 1/\cos^2(b)=V_1\cos(b)(1+\tan^2(b))=V_1\cos(b)+V_2\cos(b)\tan^2(b)=V_1\cos(b)+V_1\sin(b)\tan(b)=V_1\cos(b)+V_1\sin(b) V_2/V_2=V_1\cos(b)+V_2\sin(b)$
ACHHH - ora che la guardo e' chiaro: credo sia uno dei teoremi di Euclide
Scusa se ti ho fatto impaurire
Si in effetti me la sono fatta un attimo addosso.
Comunque grazie mille ancora perchè erano 2 giorni che ci sbattevo la testa.
Cordiali saluti.
Comunque grazie mille ancora perchè erano 2 giorni che ci sbattevo la testa.
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