Semplificazione di frazioni algebrike,mi aiutate a capire una...

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babi92

30 mag 2009, 21:59

mi aiutate a capire una semplificazione di frazione algebrica?

[math]27-y^3[/math]

__________________

[math]3y^2-16y+21[/math]

anke qst scusate^^

[math]35y^2-35z^2[/math]

__________________________

[math]7(3z-3y)[/math]

[math]a^2-3a+2[/math]

_________________________

[math]a^2+6a-7[/math]

Risposte

adry105

30 mag 2009, 23:01

Cioè devi semplificare queste equazioni e non sai come? =)

BIT5

30 mag 2009, 23:04

Cominciamo dalla prima, la vediamo passo per passo, in modo da provare a capire come risolvere le altre (che proverai a risolvere tu :satisfied )

Iniziamo dal numeratore, che come puoi vedere è differenza di cubi
Il prodotto notevole che hai studiato è

[math]a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)[/math]

e pertanto

[math]3^3-y^3=(3-y)(3^2+3y+y^2)=(3-y)(9+3y+y^2)[/math]

La quantità generica

[math]a^2 \pm ab + b^2[/math]

E' detta "falso quadrato" perchè assomiglia tantissimo al quadrato di un binomio, a cui manca il doppio prodotto. Questa quantità non è fattorizzabile (ovvero non si può ridurre in altri fattori).

Passiamo al denominatore
Questo è un polinomio "ordinato" di secondo grado.
I metodi di scomposizione sono più di uno ( e se non li ricordi, scrivimelo che ne vediamo un po' insieme...)

Otteniamo che il denominatore si scompone in:

[math](y-3)(3y-7)[/math]

A questo punto, riassumendo abbiamo che

[math]\frac{27-y^3}{3y^2-16y+21}= \frac{(3-y)(9+3y+y^2)}{(y-3)(3y-7)}[/math]

Come puoi nootare, al numeratore e al denomminatore abbiamo due fattori "simili", che si differenziano solo per il fatto di avere i segni "al contrario"

[math](y-3) \ e \ (3-y)[/math]

Come ci comporteremmo se in una frazione numerica avessimo al numeratore e al denominatore lo stesso numero ma con segno diverso?

Semplificheremmo comunque, lasciando però il segno -!

E così facciamo nel calcolo letterale.

Infatti, dal momento che

[math]y-3= -(-y+3)=-(3-y)[/math]

Possiamo semplificare e otteniamo in conclusione:

[math] (I) \ - \frac{9+3y+y^2}{3y-7}[/math]

Ultima considerazione (importantissima...)

Eliminando un fattore del denominatore, perdiamo un'informazione importantissima..
Supponi che, arrivati a questo punto, ti venga chiesto di sostituire ad y il valore 3.

Sostituendo alla frazione (I) il valore, otteniamo che il tutto diventa

[math] - \frac{9+3 \cdot 3+3^2}{3 \cdot 3-7}[/math]

[math] - \frac{9+9+9}{9-7} = - \frac{27}{2}[/math]

Ma se noi andiamo a sostituire il valore y=3 alla frazione originaria, otteniamo

[math]\frac{0}{0}[/math]

che non ha senso (non si può dividere per zero!).

Pertanto ogni volta che semplifichiamo una frazione, dobbiamo tenere conto che il denominatore non deve essere zero

Ovvero porremo, in questo caso

[math]y-3 \ne0 \\ y \ne 3[/math]

Spero di essere stato chiaro...
Prova adesso a risolvere le altre due, e posta eventuali dubbi.

Buon lavoro!

issima90

31 mag 2009, 11:53

grande fra!!

babi92

31 mag 2009, 20:13

scusa non capisco xkè al denominatore hai scritto:

[math](y-3)(3y-7)[/math]

mark930

31 mag 2009, 20:25

l'ha scomposto come trinomio particolare di secondo grado

BIT5

31 mag 2009, 20:38

[math]3y^2-16y+21[/math]

questo è il denominatore.
Dal momento che vogliamo scomporlo, possiamo usare più metodi:

Vediamone insieme alcuni:

Metodo di somma e prodotto

Si utilizza, in maniera migliore, quando il polinomio è monico (ovvero quando il termine di secondo grado ha come parte numerica 1)

Scomposizione tramite le soluzioni dell'equazione associata

Si risolve l'equazione di secondo grado

[math]3y^2-16y+21=0[/math]

Da cui ricaviamo (applicando la formula di risoluzione)

[math]y_1=3 \ y_2= \frac{7}{3}[/math]

Sappiamo che il polinomio si può scrivere come

[math](y-y_1)(y-y_2)[/math]

Ma il termine di grado massimo (y^2) aveva 3 come parte numerica, pertanto dovremo moltiplicare tutto per 3...

[math]3(y-3)(y- \frac{7}{3})[/math]

Siccome il secondo fattore non ha nulla a che vedere con alcun fattore del numeratore, e siccome sappiamo che "cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia" (proprietà commutativa) e che possiamo moltiplicare indifferentemente prima due fattori e poi gli altri (proprietà associativa), al fine di eliminare un'inutile frazione, possiamo moltiplicare il 3 con il secondo fattore.. Solo per comodità di scrittura!

[math](y-3) \cdot 3 \cdot (y- \frac{7}{3})=(y-3)(3y-7)[/math]

Altro metodo è la divisione di Ruffini

adry105

1 giu 2009, 12:02

[math]\frac {35y^2-35z^2}{7(3z-3y)}[/math]

Allora a numeratore puoi mettere a fattore comune 35, mentre a denominatore il 3

[math]\frac {35(y^2-z^2)}{21(z-y)}[/math]

Adesso puoi scomporre il numeratore così:

[math]\frac {35(y+z)(y-z)}{21(z-y)}[/math]

Adesso puoi dividere per y-z, ma il denominatore è opposto quindi bisogna mettere un meno..

[math]\frac {-35(y+z)}{21}[/math]

Dividi tutto per 7:

[math]\frac {-5(y+z)}{3}[/math]

BIT5

1 giu 2009, 13:57

adry105:

Adesso puoi dividere per y-z, ma il denominatore è opposto quindi bisogna mettere un meno..

Anche qui ponendo

[math]y-z \ne 0 \\ y \ne z[/math]

Bene. Adesso hai la spiegazione di due su tre frazioni algebriche.

Io e adry105 rimaniamo in attesa di sapere se ti abbiamo aiutato e soprattutto se sei riuscita a svolgere la terza da sola.. (della quale non ti inviamo soluzione... Prova tu ;))