Semplici Equazioni Logaritmiche
Salve vi chiedo un aiuto pichè sto affrontando il tema di equazioni logaritmiche e alcune proprio non mi escono 
Ecco le 3 che per favore mi dovreste spiegare:
" (Log) con la lettera maiuscola il mio libro le considera in base 10"
Log (x-4) / Log (3x-2) = 1/2 ; soluzioni x=9
Log (6x +1) / Log (2x+3) = 2 ; soluzioni x=4
$log_2$ $sqrt(5)$ - $log_2$ $sqrt(x-1)$ = 1/2 ; soluzioni x=2
mi potete scrivere i passaggi e spiegare .. non mi escono proprio ho provato tutto il giorno
Ecco le 3 che per favore mi dovreste spiegare:
" (Log) con la lettera maiuscola il mio libro le considera in base 10"
Log (x-4) / Log (3x-2) = 1/2 ; soluzioni x=9
Log (6x +1) / Log (2x+3) = 2 ; soluzioni x=4
$log_2$ $sqrt(5)$ - $log_2$ $sqrt(x-1)$ = 1/2 ; soluzioni x=2
mi potete scrivere i passaggi e spiegare .. non mi escono proprio ho provato tutto il giorno
Risposte
Proviamo la prima: ricopio il testo: $("Log"(x-4))/("Log"(3x-2))=1/2$.
Cerchiamo il dominio imponendo che entrambi gli argomenti dei logaritmi siano positivi: ${(x-4>0), (3x-2>0), (3x-2 != 1):} rArr x>4$.
Ora risolviamo moltiplicando a sinistra e a destra per i denominatori: $2"Log"(x-4)="Log"(3x-2)$.
Porto il $2$ a esponente e ottengo $"Log"(x-4)^2="Log"(3x-2)$.
Passo a confrontare gli argomenti: $(x-4)^2=3x-2 rarr x^2-8x+16=3x-2 rarr x^2-11x+18=0$ che ha come soluzioni $x=2$ e $x=9$ ma solo la seconda è accettabile poichè l'altra non appartiene al dominio della funzione, che era $(4, +oo)$.
E' tutto chiaro? Riesci a fare le altre?
PS. Se per le altre posti qualche passaggio vediamo di trovare gli errori...
Cerchiamo il dominio imponendo che entrambi gli argomenti dei logaritmi siano positivi: ${(x-4>0), (3x-2>0), (3x-2 != 1):} rArr x>4$.
Ora risolviamo moltiplicando a sinistra e a destra per i denominatori: $2"Log"(x-4)="Log"(3x-2)$.
Porto il $2$ a esponente e ottengo $"Log"(x-4)^2="Log"(3x-2)$.
Passo a confrontare gli argomenti: $(x-4)^2=3x-2 rarr x^2-8x+16=3x-2 rarr x^2-11x+18=0$ che ha come soluzioni $x=2$ e $x=9$ ma solo la seconda è accettabile poichè l'altra non appartiene al dominio della funzione, che era $(4, +oo)$.
E' tutto chiaro? Riesci a fare le altre?
PS. Se per le altre posti qualche passaggio vediamo di trovare gli errori...
Faccio la prima (le altre due non sono molto diverse):
\[\frac{\log_{10}(x-4) }{ \log_{10} (3x-2)} = \frac{1}{2} \]
Prima di tutto il dominio: ${(x-4>0),(3x-2>0),( \log_{10} (3x-2)!=0):}$ che risolto dà...
A questo punto portiamo tutto a sinistra e facciamo denominatore comune: $[2*\log_{10}(x-4) - \log_{10} (3x-2)]/[2*log_{10}(3x-2)]=0$
Quella frazione è nulla se è nullo il numeratore: $2*\log_{10}(x-4) - \log_{10} (3x-2)=0$, cioè $2*\log_{10}(x-4) = \log_{10} (3x-2)$. Ora, per una proprietà dei logaritmi si ha $log_{10}[(x-4)^2] = \log_{10} (3x-2)$
A questo punto l'equazione da risolvere diventa: $(x-4)^2=3x-2$, che è una normale equazione di secondo grado.
\[\frac{\log_{10}(x-4) }{ \log_{10} (3x-2)} = \frac{1}{2} \]
Prima di tutto il dominio: ${(x-4>0),(3x-2>0),( \log_{10} (3x-2)!=0):}$ che risolto dà...
A questo punto portiamo tutto a sinistra e facciamo denominatore comune: $[2*\log_{10}(x-4) - \log_{10} (3x-2)]/[2*log_{10}(3x-2)]=0$
Quella frazione è nulla se è nullo il numeratore: $2*\log_{10}(x-4) - \log_{10} (3x-2)=0$, cioè $2*\log_{10}(x-4) = \log_{10} (3x-2)$. Ora, per una proprietà dei logaritmi si ha $log_{10}[(x-4)^2] = \log_{10} (3x-2)$
A questo punto l'equazione da risolvere diventa: $(x-4)^2=3x-2$, che è una normale equazione di secondo grado.
Qui bisogna mettersi d'accordo... al limite ce le dividiamo! 
$ Log (x-4) / Log (3x-2) = 1/2 $
$ Log (x-4) = Log (3x-2)/2 $
$ Log (x-4) = Log (\sqrt{3x-2}) $
$ x-4 = \sqrt{3x-2}; x-4>0; 3x-2>0 $ (gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi)
$ x^2-8x+16 = 0; x>4 $
$ x^2-11x+18 = 0; x>4$
$ x^2-11x+18 = 0; x>4 $
$ x=9 $
Le altre si dovrebbero risolvere in maniera del tutto analoga, ma ora devo uscire.
$ Log (x-4) = Log (3x-2)/2 $
$ Log (x-4) = Log (\sqrt{3x-2}) $
$ x-4 = \sqrt{3x-2}; x-4>0; 3x-2>0 $ (gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi)
$ x^2-8x+16 = 0; x>4 $
$ x^2-11x+18 = 0; x>4$
$ x^2-11x+18 = 0; x>4 $
$ x=9 $
Le altre si dovrebbero risolvere in maniera del tutto analoga, ma ora devo uscire.
LA SECONDA IO LA SVOLGO COSI':
$Log (6x +1)/ Log (2x+3) = Log 100 $
$Log (6x+1) = Log 100(2x-3)$
$6X + 1 = 200X-300$
$-200X +6X +1 +300= 0$
$X = 301/194$
DOV'è CHE SBAGLIO?
PER QUANTO RIGUARDA LA 3 NON L'HO CAPITA ARRIVO A QUESTO PUNTO:
$log x ^(1/2) - log (x-1) ^(1/2) = 1/2 $
$Log (6x +1)/ Log (2x+3) = Log 100 $
$Log (6x+1) = Log 100(2x-3)$
$6X + 1 = 200X-300$
$-200X +6X +1 +300= 0$
$X = 301/194$
DOV'è CHE SBAGLIO?
PER QUANTO RIGUARDA LA 3 NON L'HO CAPITA ARRIVO A QUESTO PUNTO:
$log x ^(1/2) - log (x-1) ^(1/2) = 1/2 $
Nella seconda hai inventato una proprietà che non esiste!
$"Log"100*"Log"(2x+3) != "Log"[100(2x+3)]$
$"Log"100*"Log"(2x+3) != "Log"[100(2x+3)]$
e come dovrei fare?
"Dominer":
e come dovrei fare?
Come nella prima: non scrivi $2$ come $"Log"100$, moltiplichi per i denominatori e porti quel $2$ a esponente.
la 3 non ho capito me la potresti spiegare su ho messo il passaggio a cui io sono arrivato ma non so se è giusto, la perplessità è nelle radici quadrate , scritte come esponente 1/2 .... grazie comunque della disponibilità
Nel primo post hai scritto $log_2 sqrt5$ mentre nell'altro hai scritto $log x^(1/2)$... è $5$ o $x$?
scusami ho sbagliato a scrivere, comunque è radice quadrata di x
Portiamo gli esponenti davanti ottenendo $1/2log_2 x - 1/2log_2 (x-1) = 1/2$. Divido tutto per $1/2$ e arrivo a
$log_2 x - log_2 (x-1) = 1$. Applico una delle proprietà dei logaritmi e ottengo $log_2 (x/(x-1)) = 1$
Da qui riesci a finirla?
Ovviamente c'è da fare anche il dominio...
$log_2 x - log_2 (x-1) = 1$. Applico una delle proprietà dei logaritmi e ottengo $log_2 (x/(x-1)) = 1$
Da qui riesci a finirla?
Ovviamente c'è da fare anche il dominio...
Grazie veramente questo forum è il top ! grazie a tutti coloro che mi hanno aiutato se ho qualche altro problema ve lo diro' . Ciao 
"Dominer":
Grazie veramente questo forum è il top
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