Semplice integrazione per parti.
salve,
ho questo semplice integrale da risolvere per parti:
$\intxsin5x dx$
risultato: $1/25*(sin5x-5xcos5x)+c$
ho ipotizzato:
$f'(x)=sin5x$, $f(x)=-cos5x$
$g(x)=x$, $g'(x)=1$
ho risolto in questo modo, ma non va bene.... cosa c'è che non va?
ecco i miei passaggi:
$-cos5x*x-\int-cos5x$
$-cos5x*x+\intcos5x$
$-cos5x*x+1/5* \int5cos5x$
$-cos5x*x+1/5sin5x+c$
spero possiate cortesemente aiutarmi,
mille grazie.
ho questo semplice integrale da risolvere per parti:
$\intxsin5x dx$
risultato: $1/25*(sin5x-5xcos5x)+c$
ho ipotizzato:
$f'(x)=sin5x$, $f(x)=-cos5x$
$g(x)=x$, $g'(x)=1$
ho risolto in questo modo, ma non va bene.... cosa c'è che non va?
ecco i miei passaggi:
$-cos5x*x-\int-cos5x$
$-cos5x*x+\intcos5x$
$-cos5x*x+1/5* \int5cos5x$
$-cos5x*x+1/5sin5x+c$
spero possiate cortesemente aiutarmi,
mille grazie.
Risposte
ho seguito la seguente "regola":
$\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x)-\intf(x)g'(x) dx$
ma nonstante tutto non mi ritrovo nel risultato....
$\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x)-\intf(x)g'(x) dx$
ma nonstante tutto non mi ritrovo nel risultato....
"lapoalberto77":
salve,
ho questo semplice integrale da risolvere per parti:
$\intxsin5x dx$
risultato: $1/25*(sin5x-5xcos5x)+c$
ho ipotizzato:
$f'(x)=sin5x$, $f(x)=-cos5x$ correggo $f(x)=-1/5cos5x$
$g(x)=x$, $g'(x)=1$
ho risolto in questo modo, ma non va bene.... cosa c'è che non va?
ecco i miei passaggi: ricorretti in base alla correzione precedente
$-1/5cos5x*x-\int-1/5cos5x$
$-1/5cos5x*x+1/5\intcos5x$
$-1/5cos5x*x+1/5*1/5* \int5cos5x$
$-1/5cos5x*x+1/25sin5x+c$
$1/25*(sin5x-5cos5x)+c$
spero possiate cortesemente aiutarmi,
mille grazie.
spero sia chiaro.
una domanda: come hai fatto nell'ultimo passaggio a modificare moltiplicando e dividendo per 5 e a non accorgerti dell'errore precedente?
$f(x)=-cos5x$ correggo $f(x)=-1/5cos5x$
non mi è chiaro. perchè quel 1/5?
La risposta è facile, prova a fare la derivata delle due funzioni:
$f(x)=-1/5cos5x$ e $f(x)=-cos5x$
controlla quale delle due ha la derivata $f'(x)=sin5x$
$f(x)=-1/5cos5x$ e $f(x)=-cos5x$
controlla quale delle due ha la derivata $f'(x)=sin5x$
se considero invece questo integrale:
(tutti molto semplici, dal momento che non vorrei sbagliarmi già dalle basi....)
$\int(x^3)/(1+x^2)dx$
qui ho la funzione al denominatore
e posso ottenere la sua derivata al numeratore facendo così:
$x^2/2\int2/x^2*x^3/(1+x^2)dx$
infatti all'interno ottengo:
$x^2/2\int(2x)/(1+x^2)dx$
dove $2x$ è la derivta della funzione considerata.
ottengo infine:
$x^2/2*log(1+x^2)+c$
ma dovrei ottenere:
$x^2/2-(log(1+x^2))/2+c$
perchè non ottengo quel risultato? dove sbaglio?
mille grazie ancora.
(tutti molto semplici, dal momento che non vorrei sbagliarmi già dalle basi....)
$\int(x^3)/(1+x^2)dx$
qui ho la funzione al denominatore
e posso ottenere la sua derivata al numeratore facendo così:
$x^2/2\int2/x^2*x^3/(1+x^2)dx$
infatti all'interno ottengo:
$x^2/2\int(2x)/(1+x^2)dx$
dove $2x$ è la derivta della funzione considerata.
ottengo infine:
$x^2/2*log(1+x^2)+c$
ma dovrei ottenere:
$x^2/2-(log(1+x^2))/2+c$
perchè non ottengo quel risultato? dove sbaglio?
mille grazie ancora.
Per questo
$\int(x^3)/(1+x^2)dx$
puoi utilizzare la divisione tra polinomi.. Ti vengono degli integrali immediati..
$\int(x^3)/(1+x^2)dx$
puoi utilizzare la divisione tra polinomi.. Ti vengono degli integrali immediati..
@ lapoalberto77: se non capisco male, nel tuo primo passaggio hai portato $x^2/2$ fuori dal segno di integrale: guarda che questo è lecito solo per i fattori costanti, e il tuo non lo è.
Giusto invece il suggerimento di leena; la divisione può essere fatta molto rapidamente notando che $x^3=x^3+x-x=x(x^2+1)-x$
Giusto invece il suggerimento di leena; la divisione può essere fatta molto rapidamente notando che $x^3=x^3+x-x=x(x^2+1)-x$
Ricordati @lapoalberto77, quando hai una funzione razionale del tipo $ F(x)=f(x)/g(x) $, dove $f(x)$ e $g(x)$ sono dei polinomi e il grado di $f(x)$ è maggiore o al massimo uguale al grado di $g(x)$, puoi sempre esprimere la funzione razionale $F(x)$ come somma di un polinomio e di una funzione razionale ... e questo è proprio il tuo caso. Infatti, se fai la semplice divisione tra il numeratore e il denominatore (come ti ha detto leena), avrai che
$ x^3/(x^2+1)=x-x/(x^2+1) $. Quindi
$ \int x^3/(x^2+1)dx=\int xdx - \int x/(x^2+1)dx $. Ora il primo è immediato, il secondo nota che il numeratore è la derivata del denominatore, per meno di una costante pari a 2. Questo significa che moltiplichi e dividi per 2 il secondo integrale, per avere
$ \int x^3/(x^2+1)dx=\int xdx - 1/2*\int 2x/(x^2+1)dx=x^2/2-1/2*log(x^2+1) + c $, con $c in R$. ok? se hai qualke altro dubbio fai uno squillo
$ x^3/(x^2+1)=x-x/(x^2+1) $. Quindi
$ \int x^3/(x^2+1)dx=\int xdx - \int x/(x^2+1)dx $. Ora il primo è immediato, il secondo nota che il numeratore è la derivata del denominatore, per meno di una costante pari a 2. Questo significa che moltiplichi e dividi per 2 il secondo integrale, per avere
$ \int x^3/(x^2+1)dx=\int xdx - 1/2*\int 2x/(x^2+1)dx=x^2/2-1/2*log(x^2+1) + c $, con $c in R$. ok? se hai qualke altro dubbio fai uno squillo
Io un dubbio l'avrei al riguardo, ma non per l'integrale.
Come si fa la divisione tra un polinomio di terzo grado e uno di secondo?
In questo caso si può anche andare per intuizione,ma com'è il metodo?
Come si fa la divisione tra un polinomio di terzo grado e uno di secondo?
In questo caso si può anche andare per intuizione,ma com'è il metodo?
non conosci l'algoritmo della divisione?
è un po' difficile renderlo "visibile" qui. puoi provare a cercare in internet... o nei libri di algebra del primo superiore!
ti dico a parole come si procederebbe in questo caso, spero di rendere l'idea.
$(x^3) : (x^2+1)$
$x^3/x^2=x -> x " e' il primo termine del quoziente"$
$x*(x^2+1)=x^3+x$ -> termine da sottrarre al dividendo
$x^3-x^3-x=-x " e' il primo resto parziale, che ha grado minore del divisore, quindi mi fermo qui, e' il resto totale"$
altrimenti si sarebbe andati avanti con la divisione tra il termine di grado massimo del resto parziale e il termine di grado massimo del divisore, finché il resto non avesse avuto grado strettamente minore del divisore.
poi con la regola della divisione:
$"dividendo"="divisore"*"quoziente"+"resto"$ ho $"frazione"="quoziente"+("resto")/("denominatore")$, cioè:
$(x^3)/(x^2+1)=x-x/(x^2+1)$, dove il primo x è il quoziente e il secondo (-x) è il resto.
spero di essermi spiegata. ciao.
è un po' difficile renderlo "visibile" qui. puoi provare a cercare in internet... o nei libri di algebra del primo superiore!
ti dico a parole come si procederebbe in questo caso, spero di rendere l'idea.
$(x^3) : (x^2+1)$
$x^3/x^2=x -> x " e' il primo termine del quoziente"$
$x*(x^2+1)=x^3+x$ -> termine da sottrarre al dividendo
$x^3-x^3-x=-x " e' il primo resto parziale, che ha grado minore del divisore, quindi mi fermo qui, e' il resto totale"$
altrimenti si sarebbe andati avanti con la divisione tra il termine di grado massimo del resto parziale e il termine di grado massimo del divisore, finché il resto non avesse avuto grado strettamente minore del divisore.
poi con la regola della divisione:
$"dividendo"="divisore"*"quoziente"+"resto"$ ho $"frazione"="quoziente"+("resto")/("denominatore")$, cioè:
$(x^3)/(x^2+1)=x-x/(x^2+1)$, dove il primo x è il quoziente e il secondo (-x) è il resto.
spero di essermi spiegata. ciao.
che figura! 
grazie, leena, avevo dimenticato che era già stato pubblicato!
grazie, leena, avevo dimenticato che era già stato pubblicato!
Ma figurati, sei sempre così in gamba.. Non avevo visto la tua risposta per questo ho lasciato quel link.
grazie per i complimenti, ma non preoccuparti:
ce l'ho con la mia testa, perché faccio parte dei collaboratori e mi doveva venire in mente che si poteva almeno aggiungere quel riferimento!
ce l'ho con la mia testa, perché faccio parte dei collaboratori e mi doveva venire in mente che si poteva almeno aggiungere quel riferimento!
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