Segno di una funzione

[Mynameis1]

Buonasera a tutti. Volevo chiedervi una mano per lo studio del segno di questa funzione $ x^2-4+root(3)((x^3+x) $ . Procedo in questa maniera : $ root (3)(x^3+x) >= 4-x^2 $ e dato che l'indice è dispari elevo entrambi i membri al cubo per cui ottengo, svolgendo il cubo del secondo membro , $ x^6-12x^4+x^3+48x^2+x-64 $ che pongo maggiore uguale a zero. Provo a svolgere con Ruffini ma non trovo il fattore annullante il polinomio. Mi sapete dare maggiori indicazioni o suggerire metodi di risoluzione diversi o eventualmente dirmi se sbaglio da qualche parte ?? Grazie e buona serata

[axpgn]

A sensazione hai invertito i segni dello sviluppo del cubo ...

[pilloeffe]

Ciao Mynameis,

Mi sa che il problema è risolubile solo per via grafica o numerica: si tratta di trovare per quali valori di $x$ la funzione [tex]y =\sqrt[3]{x^3 + x}[/tex] sta sopra la parabola $y = 4 - x^2$. Con l'aiuto di WolframAlpha si trova che ciò accade per $x > x_0$, ove $x_0 = 1,5139$:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E3+%2B+x)%5E(1%2F3)+%3E+4+-+x%5E2

[Mynameis1]

"axpgn":A sensazione hai invertito i segni dello sviluppo del cubo ...

Rispondo prima a axpgn . I calcoli sono giusti , ho ricontrollato ciò che ho fatto, lo posto pure qui : $ root(3)(x^3+x) >= 4-x^2 rArr x^3+x >=64-48x^2+12x^4-x^6 $ ovvero $ x^6-12x^4+x^3+48x^2+x-64>=0 $ che è quanto ho già scritto nel messaggio iniziale . Salvo che non abbia commesso errori grossolani dovrebbe venire così , ma sono praticamente certo sia così . A questo punto come diceva pilloeffe si procede con la risoluzione grafica alla quale io non avevo pensato onestamente ( e ciò significherebbe fare uno studio nello studio...) . Sono stato un bel poco di tempo a cercare gli zeri di quel polinomio senza trovarli per cui mi chiedo se la risoluzione grafica sia davvero l'ultima spiaggia .... Grazie ad entrambi

P.s. se qualcun'altro avesse altri suggerimenti scriva pure

[axpgn]

Siccome avevi detto "svolgendo il cubo, ottengo" ho pensato che fosse quello il cubo ... sorry ...

[Mynameis1]

Mi sono espresso male io effettivamente. Comunque ho fatto la risoluzione grafica di questo "studio nello studio" e sebbene non sia complicata di certo allunga un pochino le cose , soprattutto lo studio principale che è di per sé già complesso ; ecco perché desideravo sapere se c'è qualche altra possibilità

[orsoulx]

Qualunque cosa emerga da WolframAlpha, quella funzione è positiva per valori dell'incognita di valore assoluto sufficientemente grande.
Uno studio spannometrico si può ottenere approssimando brutalmente $ root 3 (x^3+x) $ con $ x $: sarà $ f(x) >0 $ per $ xx_2 $ con $ x_1 \approx -2.5; x_2 \approx 1.5 $.
Ciao

[pilloeffe]

Chiedo scusa,

ha ragione orsoulx, errore mio nell'uso di WolframAlpha... $x_1$ è circa $-2,6$:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E3+%2B+x)%5E(1%2F3)+%3E+4+-+x%5E2&rawformassumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22

[Mynameis1]

E' vero, effettivamente dal grafico che ho fatto io ieri sera ( a mente poco lucida ) si nota , ora che guardo meglio , che oltre al punto segnalato inizialmente c'è un altro punto in cui risulta $ root(e)(x^3+x) >=-x^4+4 $ ed è poco meno minore di $ -2 $ come già detto orsoulx che ringrazio . A questo punto non credo ci siano molte chanches di fuga... credo che si risolva così il tutto, sia lo studio del segno della funzione sia ciò che avevo postato all'inizio . Faccio notare, per chi volesse che la funzione che sto studiando , che essa è una definita a tratti del tipo :
$ y={ ( x^2-4+ root(3)((x^3+x) ) ),( -x^2+4+root(3)((x^3+x) )) ):} $
la prima se $ x<-2 vv x>2 $ ; la seconda se $ -2 Grazie ancora

[teorema55]

Totalmente d'accordo con orsolux!