Secanti

[maria601]

Dato il problema : dato il triangolo ABC, considera la circonferenza di diametro AB. Indica con P e Q i punti in cui tale circonferenza interseca, rispettivamente, la retta del lato AC e la retta del lato BC. Dimostra che itriangoli ABC e CPQ sono simili, sia nel caso in cui P e Q siano interni ai segmenti AC e bC sia nel caso siano esterni. Nel secondo caso non ho avuto difficoltà (col teorema delle corde) , ma nel primo pur applicando il ma delle secanti non sono riuscita, grazie dell'attenzione.

[gabriello47]

A occhio e croce mi pare che col teorema delle secanti e col secondo criterio di similitudine si arriva alla dimostrazione.

[chiaraotta1]

Per il primo caso mi sembra che si potrebbe ragionare così ...
L'angolo $AhatBQ=beta$ è un angolo alla circonferenza che insiste sul minore degli archi $AQ$. Invece l'angolo $AhatPQ$ è un angolo alla circonferenza che insiste sul maggiore degli archi $AQ$ e quindi è supplementare di $beta$.
Ma $QhatPC$ è supplementare di $AhatPQ$ e dunque $QhatPC=beta$.
Allora i triangoli $ABC$ e $PQC$ hanno un angolo in comune ($hatC$), un secondo angolo uguale ($QhatPC=AhatBQ$) e quindi anche il terzo angolo uguale. Perciò sono simili.