Se due classi di equivalenza hanno elementi in comune, allora tali classi sono uguali.

[cloe009]

Salve,

ho provato a dimostrare il seguente, ma per favore potreste dare un occhiata per vedere se è sbagliato?

dimostrare che:
Se $[a] \cap \ne \emptyset$, allora $[a] = $

svolgimento:
$[a] \cup $ lo possiamo riscrivere diversamente come:
$[a] \cap = {r, s, ...} \\
r,s \in A, r,s \in B$

considerando $\mathcal{R}$ come la relazione di equivalenza che ha definito $[a]$ e $$,
se un elemento appartiene ad $[a]$ allora è in relazione di equivaenza $\mathcal{R}$ con $a$.

abbiamo:
da $r \mathcal{R} a, r \mathcal{R} b$
segue per la prop simmetrica sulla prima relazione:
$a \mathcal{R} r, r \mathcal{R} b$
e per la prop transitiva:
$a \mathcal{R} b$
cioè:
$a \in $

analogamente per s:
da $s \mathcal{R} a, s \mathcal{R} b$
segue per la prop simmetrica sulla prima relazione:
$a \mathcal{R} s, s \mathcal{R} b$
e per la prop transitiva:
$a \mathcal{R} b$ cioè: $a \in $

poichè $a \mathcal{R} a$ allora $a \in [a]$,
ma abbiamo supposto prima che $a \in $,
allora $ \subseteq [a]$.

Analogamente per dimostrare che $ \subseteq [a]$,
e cioè quando si arriva al punto che per la prop transitiva
$a \mathcal{R} b$,
per la prop simmetrica
$b \mathcal{R} a$
perciò $b \in [a]$ per entrambi $r, s \in $

e ugualmente per b, così come fatto per a:
$b \mathcal{R} b$, cioè: $b \in $,
ma abbiamo supposto prima che $b \in [a]$,
allora $[a] \subseteq $.

FINE.

Cosa ne pensate? O è completamente sbagliata?
Perchè sul mio testo accenna a qualcosa del tipo $[r] = [a], [r] = \Rightarrow [a] = $ per la prop transitiva di $=$.
Grazie mille!

[@melia]

La tua dimostrazione ha delle ripetizioni, è inutile che la dimostri per $r$ e anche per $s$, se $[a] \cap \ne \emptyset$. Sia $r$ un generico elemento appartenente alla loro intersezione, la dimostrazione per un altro elemento dell'intersezione è inutile. Il testo sfrutta la proprietà che se $r in [a]$ allora $[r]-=[a]$ perché la classe è individuata da uno qualsiasi dei suoi elementi. Nella tua dimostrazione hai dimostato anche questa proprietà, che, invece, sembra essere già nota e, quindi, sfruttabile nella dimostrazione.

[cloe009]

quindi a parte la ripetizione per $s$, la mia dimostrazione sembra essere risultata valida!

Il testo sfrutta la proprietà che se $r \in [a]$ allora $[r]≡[a]$ perché la classe è individuata da uno qualsiasi dei suoi elementi.

ok! basandosi su quanto consigliato dal testo, quindi vengono fornite per ipotesi le seguenti:
$r \in [a], r \in \Rightarrow [r] = [a], [r] = $

perciò, il passaggio da dimostrare sarebbe:
- per la prop simmetrica:
$[r] = [a] \Rightarrow [a] = [r]$
e per la prop transitiva:
$[a] = [r], [r] = \Rightarrow [a] = $

[@melia]

Esatto.