Scomposizioni (raccoglimento parziale + Ruffini)

[lala5096]

(e) a^4 − a^3 − a + 1;
(f) x^3 − x^2 + 2;
Chi mi puo aiutare e me li puo risolvere

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Al solito occorre mostrare i propri tentativi risolutivi, scrivere in parole
semplici le proprie idee al riguardo. In altri termini, in questo forum si
aiuta nel risolvere dubbi/esercizi, non li si risolve al posto vostro dato
che non avrebbe alcun senso. Forza, mostra i tuoi tentativi risolutivi che
in base a quelli cerchiamo di aiutarti.

[lala5096]

a^3(a-1)-1(a-1)
(a^3-1)a-1) e qui che faccio?

Aggiunto 22 secondi più tardi:

poi la F non so propio

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Vedi che le cose le sai?? Devi dimostrarcelo mostrandoci i passaggi, noi
non ti conosciamo quindi dobbiamo capire cosa non ti è chiaro per aiutarti.

Ciò che hai scritto è perfetto, ora occorre procedere, ossia:

[math]a^4 − a^3 − a + 1 = a^3(a - 1) - 1(a - 1) = \left(a^3 - 1\right)(a - 1) = \dots\\[/math]

Ora la vedi quella bella differenza di cubi nel primo fattore? :)

[lala5096]

si

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Allora, visto che la vedi, sapresti scomporla? Devi ricordare che in
generale si ha ...

[math]\small x^3 - y^3 = (x - y)\left(x^2 + x\,y + y^2\right)[/math]

... provaci.

[lala5096]

sisi la E l'ho capita la F non so proprio come fare grazie per la E

Aggiunto 2 secondi più tardi:

sisi la E l'ho capita la F non so proprio come fare grazie per la E

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Vedi che piano piano ci capiamo? Dai, non scoraggiarti e cerca di spiegare
cosa non capisci che così ti aiutiamo e poi gli esercizi risulteranno semplici.

Per quanto riguarda la scomposizione di

[math]x^3 - x^2 + 2[/math]

purtroppo non c'è
molta scelta: l'unica arma che ti rimane è la scomposizione secondo il meto-
do di Ruffini. Lo conosci? Se sì, sai come muoverti per applicare quel metodo?

[lala5096]

non lo conosco e poi molti dicono che non si scompone più x3−x2+2

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Quei "molti" dicono il falso, infatti:

[math]x^3 - x^2 + 2 = (x + 1)\left(x^2 - 2\,x + 2\right) \; .\\[/math]

Ovviamente per poter scrivere questa scomposizione occorre aver affrontato in
classe il metodo di Ruffini, in caso contrario lascia perdere questo esercizio, lo
riuscirai a comprendere il prossimo anno scolastico.

[lala5096]

ma quindi lo lascio cosi? x3−x2+2 ?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Se non conosci il metodo di Ruffini non puoi scomporre il polinomio
dell'esercizio, quindi SALTI l'esercizio, NON lo risolvi. Se, invece, a
scuola avete studiato tale metodo allora posso aiutarti a scomporlo
perché come ti ho mostrato con quel metodo è possibile.

[lala5096]

ma era una certa strana tabella ?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Oddio, non farti sentire dalla tua professoressa altrimenti rischi grosso. :D
Comunque sia, proprio quella!! Meglio che la ripassi un po', ora ti serve. ;)

[lala5096]

allora devo tipo trovare tipo +1 -1 +2 +2 e verificare il resto che in questo caso è 0 con il -1 poi come procedo?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Io se potessi ti prenderei a calci nel sedere, guarda. Perché le cose non solo le sai,
ma le sai pure bene!! Per quale motivo prima dicevi di non conoscere tale metodo?
Ritieniti fortunato che sono lontano, altrimenti sarebbero guai! :D

Tornando all'esercizio, la parte iniziale del metodo di Ruffini consiste proprio in
quello che hai scritto, né più, né meno. Non solo: hai individuato esattamente il
"numeretto" che annulla tale polinomio:

[math]\color{green}{-1}\\[/math]

e quindi ciò significa che:

[math](\color{red}{1})x^3 + (\color{red}{-1})x^2 + (\color{red}{0})x + (\color{red}{2}) = (x + 1)(\text{qualcosa}) \; ; \\[/math]

tocca determinare "qualcosa", ossia il secondo fattore, che sarà necessariamente
un polinomio di secondo grado (dovresti capire il perché).

Per fare questo entra in gioco "la famosa tabella":

[math]\begin{array}{c|c c c|c}
& \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} & \color{red}{2}\\
\color{green}{-1} & & & & \\
\hline
& & & & \\
\end{array}\\[/math]

dove si comincia abbassando il primo numeretto rosso da sinistra:

[math]\begin{array}{c|c c c|c}
& \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} & \color{red}{2}\\
\color{green}{-1} & & & & \\
\hline
& 1 & & & \\
\end{array}\\[/math]

tale numeretto lo si moltiplica per quello verde e lo si riporta sopra:

[math]\begin{array}{c|c c c|c}
& \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} & \color{red}{2}\\
\color{green}{-1} & & - 1 & & \\
\hline
& 1 & & & \\
\end{array}\\[/math]

dunque si somma il secondo numeretto rosso con quello nero e lo si riporta sotto:

[math]\begin{array}{c|c c c|c}
& \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} & \color{red}{2}\\
\color{green}{-1} & & - 1 & & \\
\hline
& 1 & - 2 & & \\
\end{array}\\[/math]

ora si moltiplica

[math]-2\\[/math]

per il numeretto verde e lo si riporta sopra:

[math]\begin{array}{c|c c c|c}
& \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} & \color{red}{2}\\
\color{green}{-1} & & - 1 & 2 & \\
\hline
& 1 & - 2 & & \\
\end{array}\\[/math]

quindi si somma il terzo numeretto rosso con quello nero e lo si riporta sotto:

[math]\begin{array}{c|c c c|c}
& \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} & \color{red}{2}\\
\color{green}{-1} & & - 1 & 2 & \\
\hline
& 1 & - 2 & 2 & \\
\end{array}\\[/math]

ora si moltiplica

[math]2\\[/math]

per il numeretto verde e lo si riporta sopra:

[math]\begin{array}{c|c c c|c}
& \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} & \color{red}{2}\\
\color{green}{-1} & & - 1 & 2 & -2 \\
\hline
& 1 & - 2 & 2 & \\
\end{array}\\[/math]

e dulcis in fundo si nota che l'ultima somma porge zero, ossia il
resto di tale divisione è zero: questo è indice che è tutto corretto:

[math]\begin{array}{c|c c c|c}
& \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{0} & \color{red}{2}\\
\color{green}{-1} & & - 1 & 2 & -2 \\
\hline
& 1 & - 2 & 2 & 0 \\
\end{array}\\[/math]

Benissimo, siamo al traguardo: abbiamo ottenuto i tre coefficienti del
nostro polinomio di secondo grado che avevamo chiamato "qualcosa":

[math]x^3 - x^2 + 2 = (x + 1)\left(x^2 - 2\,x + 2\right)\\[/math]

e questo conclude l'esercizio. ;)

[lala5096]

(x2−2x+2) non si scompone più?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

No e dovresti essere in grado di dimostrarlo. Infatti, trattandosi di un polinomio di
secondo grado, notando che

[math]\Delta := (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = - 4 < 0[/math]

significa
che non è ulteriormente fattorizzabile nell'ambito dei numeri reali. ;)