Scomposizione polinomio secondo grado.

[Maturando]

Ciao gente, stavo facendo un esercizio su un limite che diventa banale dopo aver scomposto il denominatore che è pari a $\3x^2-2x-1$. C'è una formula per scomporre polinomi del genere? So che se il coefficiente della variabile di secondo grado è 1 c'è la famosa "somma e prodotto", ma in questi casi?

[Auron2]

Puoi usare anche questa:

$(x-x_1)*(x-x_2)$

Indicando con $x_1$ e $x_2$ le soluzioni: in questo caso per semplificare basta che risolvi l'equazione di secondo grado.
In questo caso:

$(x-1)*(x+1/3)$

[Maturando]

ah giusto, solo che all'esercizio svolto scrive il secondo termine facendo il m.c.m.

[Maturando]

Ma scusa le soluzioni non sono 3 e -1?

[Auron2]

$\Delta = (-2^2) - 4 * ( -1 * 3 ) = 16$

$ x_(1,2) = (2 +- sqrt16)/6 = (2 +- 4) / 6 $

$x_1= 1 , x_2= -1/3$

Credo che il tuo errore sia nell'applicare la somma prodotto moltiplicando $c*a$: in questo caso però alla fine ti devi ricordare ti dividere le soluzioni che trovi per $a$. Infatti, come hai detto tu:

$x_1= 3 / 3 = 1$

$x_2= -1/3 $

[@melia]

Ricordo che la scomposizione del trinomio di secondo grado con $Delta>=0$ è $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, mi pare che nella formula indicata da Auron manchi la $a$ iniziale.

[Maturando]

Ok, grazie.

[Auron2]

"@melia":Ricordo che la scomposizione del trinomio di secondo grado con $Delta>=0$ è $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, mi pare che nella formula indicata da Auron manchi la $a$ iniziale.

Domando scusa, una svista abbastanza pesante, spero comunque che ciò che volevo intendere sia stato inteso.

[franced]

Il polinomio da scomporre è

$3 x^2 - 2 x - 1$

tolgo e aggiungo $x$:

$3 x^2 - 2x - x + x - 1 =$

$3 x^2 - 3x + x - 1 =$

$3 x (x - 1) + (x - 1) =$

$(x - 1) (3x + 1)$ .

[giammaria2]

A quanto detto da Franced aggiungo la regola generale; volendo scomporre il trinomio $ax^2+bx+c$ , si mettano al posto di b due numeri con somma $b$ e prodotto $ac$ e si faccia la scomposizione a gruppi. Nel nostro caso i due numeri sono -3 e +1, quindi scriviamo subito $3x^2-2x-1=3x^2-3x+1x-1$ e continuiamo come fatto da Franced.
Se si ha $a=1$ (regola del trinomio), non occorrono passaggi intermedi e si può subito scrivere il risultato: ad esempio $x^2+5x-6=(x+6)(x-1)$ poichè +6 e -1 danno somma +5 e prodotto -6.
Questo metodo funziona solo se il trinomio ha zeri razionali ed è allora il più rapido; quello indicato da Auron e corrretto da @melia è forse un po' più lungo ma vale in presenza di soluzioni reali di qualsiasi tipo.