Scomposizione polinomi [Esercizio]
Salve a tutti, è da un po' che ho ripreso il ripasso di alcune cose basilari di matematica. Mentre cercavo di fare qualche esercizio sulla scomposizione ho avuto dei problemi nella risoluzione di alcuni. Uno di questi è il seguente: x^5 + 4x^3 + x^2 +4 .
La prima cosa che ho fatto è stata applicare ruffini. Quindi ho riscritto il polinomio nella seguente forma: (x^4 + x^3 + 5x^2 - 4x + 4) (x+1). Dopo questo sono nati i problemi. Non riesco a ri-applicare ruffini perché non trovo un coefficiente adatto (in questo caso i sottomultipli di 4, che non danno mai un valore pari a 0). Inoltre non riesco a trovare nessun prodotto notevole che corrisponde al mio caso (forse sono arrugginito, ma ci sto provando da un sacco a fare questo esercizio). Dopodiché ho sbirciato su un sito che fa automaticamente le scomposizioni dei vari polinomi, e vedo che il risultato è: (x + 1)(x^2 + 4)(x^2 - x +1) . Come si arriva a un risultato del genere? Ovvero da x^4 + x^3 + 5x^2 - 4x + 4 a (x^2 + 4)(x^2 - x +1) ? Non riesco proprio a capirlo. Grazie mille.
La prima cosa che ho fatto è stata applicare ruffini. Quindi ho riscritto il polinomio nella seguente forma: (x^4 + x^3 + 5x^2 - 4x + 4) (x+1). Dopo questo sono nati i problemi. Non riesco a ri-applicare ruffini perché non trovo un coefficiente adatto (in questo caso i sottomultipli di 4, che non danno mai un valore pari a 0). Inoltre non riesco a trovare nessun prodotto notevole che corrisponde al mio caso (forse sono arrugginito, ma ci sto provando da un sacco a fare questo esercizio). Dopodiché ho sbirciato su un sito che fa automaticamente le scomposizioni dei vari polinomi, e vedo che il risultato è: (x + 1)(x^2 + 4)(x^2 - x +1) . Come si arriva a un risultato del genere? Ovvero da x^4 + x^3 + 5x^2 - 4x + 4 a (x^2 + 4)(x^2 - x +1) ? Non riesco proprio a capirlo. Grazie mille.
Risposte
Il consiglio che ti posso dare è usare Ruffini solo come ultima spiaggia. In quel polinomio prova un raccoglimento parziale tra i primi due e gli ultimi due termini, cosa ti viene?
viene fuori che sono un pirla arrugginito D: , grazie mille 
Figurati 
Avrei un'ulteriore domanda su un altro esercizio... il seguente: x^4 + 8x^3 + 11x^2 + 32x + 28 . Si tratta sempre di scomporlo. Logicamente applicare il raccoglimento qui ha poco senso. Questo è quello che ho fatto: ho trovato le radici facendo i vari tentativi sostituendo le x con i sottomultipli di 28 (-1 e -7 davano 0, quindi il polinomio è divisibile per x+1 e x+7); poi ho moltiplicato x+1 per x+7 e ho ottenuto x^2 + 8x + 7 ; infine ho diviso x^4 + 8x^3 + 11x^2 + 32x + 28 per x^2 + 8x + 7, ottenendo x^2 + 4 (che, se moltiplicato per (x+1) (x+7), ridà l'espressione iniziale ).
La mia domanda è: questo è l'unico procedimento possibile oppure, andando a intuito, sono giunto al risultato corretto ma seguendo una strada sbagliata o poco comoda? Anche l'esercizio è venuto mi sento un po' un "praticone" ... mi sto forse perdendo qualche base teorica? Grazie mille
La mia domanda è: questo è l'unico procedimento possibile oppure, andando a intuito, sono giunto al risultato corretto ma seguendo una strada sbagliata o poco comoda? Anche l'esercizio è venuto mi sento un po' un "praticone" ... mi sto forse perdendo qualche base teorica? Grazie mille
$x^4 + 8x^3 + 11x^2 + 32x + 28$
Il polinomio non mi risulta divisibile per $x+7$. Forse intendevi quello che viene dopo.
L'unico metodo che vedo in questo caso é Ruffini, quindi
$(x+1)(x^3+7x^2+4x+28)= (x+1)(x+7)(x^2+4)$.
Il polinomio non mi risulta divisibile per $x+7$. Forse intendevi quello che viene dopo.
L'unico metodo che vedo in questo caso é Ruffini, quindi
$(x+1)(x^3+7x^2+4x+28)= (x+1)(x+7)(x^2+4)$.
@Fire_fly
Hai proceduto correttamente.
@Luca
Prova a rifare i calcoli, i risultati di Fire_fly sono corretti.
Hai proceduto correttamente.
@Luca
Prova a rifare i calcoli, i risultati di Fire_fly sono corretti.
$2401-2744+539-244+28=-20$.
Come ho scritto prima, credo che Fire_fly si riferisse al secondo polinomio che si ottiene dalla scomposizione del primo, ma da ciò che ha scritto risulta poco chiaro.
Come ho scritto prima, credo che Fire_fly si riferisse al secondo polinomio che si ottiene dalla scomposizione del primo, ma da ciò che ha scritto risulta poco chiaro.
Grazie a entrambi per le risposte!
Per Luca: 32 * (-7) diventa 224, non 244. In questo caso come risultato si ha 0. Grazie comunque!
Per Luca: 32 * (-7) diventa 224, non 244. In questo caso come risultato si ha 0. Grazie comunque!
"Luca":
$2401-2744+539-244+28=-20$.
Come ho scritto prima, credo che Fire_fly si riferisse al secondo polinomio che si ottiene dalla scomposizione del primo, ma da ciò che ha scritto risulta poco chiaro.
O $x+7$ è un divisore di $P(x)$, e allora appartiene ai fattori della scomposizione $P(x)$, o non lo è e quindi non vi appartiene, non è possibile che sia un divisore dopo e non prima.
E $P(x)=(x+1)(x+7)(x^2+4)$
In effetti, se il polinomio è divisibile sia per x+1 sia per x+7 è divisibile anche per il loro prodotto...
Uhm... anche se so che mi sputerete in faccia... vi posto un'altro esercizio un po' problematico, anche se è un po' diverso. Il testo chiede: " Portare fuori segno di radice i fattori il cui esponente è maggiore o uguale all'indice della radice, dopo aver determinato le condizioni di esistenza: ".
L'esercizio in particolare è questo . Dopo aver "determinato le condizioni d'esistenza" (quindi il fatto che quello che sta sotto radice sia maggiore o uguale a 0), non riesco a procedere in nessun modo. Il denominatore si può riscrivere come (x+1)(x^2 - 2x +1), ma per il numeratore non riesco a fare nulla. In che modo si arriverebbe a quel risultato? Può essere che l'esercizio è sbagliato? O.o
Vi ringrazio.
L'esercizio in particolare è questo . Dopo aver "determinato le condizioni d'esistenza" (quindi il fatto che quello che sta sotto radice sia maggiore o uguale a 0), non riesco a procedere in nessun modo. Il denominatore si può riscrivere come (x+1)(x^2 - 2x +1), ma per il numeratore non riesco a fare nulla. In che modo si arriverebbe a quel risultato? Può essere che l'esercizio è sbagliato? O.o
Vi ringrazio.
In realtà in questo caso le condizioni d'esistenza non sono che il radicando sia $>0$ in quanto la radice è di indice $3$, quindi sono ammessi anche valori negativi del radicando. L'unica condizione che devi imporre è quella data dalla frazione, ossia che il denominatore sia diverso da $0$: $x^3+1!=0$.
Per quanto riguarda le scomposizioni, il denominatore va bene. Per il numeratore puoi facilmente usare Ruffini.
Per quanto riguarda le scomposizioni, il denominatore va bene. Per il numeratore puoi facilmente usare Ruffini.
giusto.. che pirla per il denominatore. Pero' al numeratore ruffini come lo uso? Cioe' a me sembra che non sia divisibile ne' per x - 1 ne' per x + 1.
$x^4-2x^3+2x-1 ->P(-1)=1+2-2-1=0$.
Ti indico anche un metodo alternativo senza Ruffini:
$x^4-2x^3+2x-1=x^4-1-2x^3+2x=(x^2+1)(x+1)(x-1)-2x(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)-2x(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x^2-2x+1)=(x+1)(x-1)(x-1)^2=(x-1)^3(x+1)$
Ti indico anche un metodo alternativo senza Ruffini:
$x^4-2x^3+2x-1=x^4-1-2x^3+2x=(x^2+1)(x+1)(x-1)-2x(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)-2x(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x^2-2x+1)=(x+1)(x-1)(x-1)^2=(x-1)^3(x+1)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo