Scomposizione polinomi (algebra)
Buongiorno a tutti. Ho un problemino con un paio di polinomi da scomporre. È fa un giorno intero che provo e riprovo ma con scarsi risultati. I polinomi in questione sono $x^5-y^10$ e $35x^5+1$
Immagino che debba ricondurli ad una somma o sottrazione di quadrati o cubi, ma non ho la più pallida idea di come si possa fare. Ci sarebbe qualcuno di così gentile da potermi aiutare? Grazie in anticipo!!
Immagino che debba ricondurli ad una somma o sottrazione di quadrati o cubi, ma non ho la più pallida idea di come si possa fare. Ci sarebbe qualcuno di così gentile da potermi aiutare? Grazie in anticipo!!
Risposte
Per la prima la puoi pensare scritta così: $x^5-(y^2)^5$ ora sapresti continuare?
La seconda sicuro che sia 35?
La seconda sicuro che sia 35?
Sinceramente non saprei continuare.. sono sicuro che è molto più facile di quello che penso ma non ci arrivo... comunque ho controllato e no, è 32
Ma ti hanno insegnato la scomposizione di una differenza di ugual grado dispari?
$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
Questa che ti ho appena scritto è la regola generale; sapresti almeno implementarla nella tua?
$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
Questa che ti ho appena scritto è la regola generale; sapresti almeno implementarla nella tua?
Sinceramente mi mancava la regola per il grado dispari.. ora mi è tutto più chiaro, grazie.
Il $32x^5+1$ invece? Immagino la stessa regola ma con qualche segno cambiato.. com'è? Grazie
Il $32x^5+1$ invece? Immagino la stessa regola ma con qualche segno cambiato.. com'è? Grazie
Quanto alla seconda, la puoi scrivere
$32x^5 + 1 = (2x)^5 - (-1)^5$
$32x^5 + 1 = (2x)^5 - (-1)^5$
È quasi uguale bisogna stare attenti ai segni:
$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$
Attento però che questa regola vale solo per la somma di due potenze di ugual grado dispari; se il grado fosse pari non sarebbe semplificabile a meno che non si possano ricondurre a una somma di potenze di grado dispari.
Comunque aspetto il procedimento dei tuoi esercizi
$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$
Attento però che questa regola vale solo per la somma di due potenze di ugual grado dispari; se il grado fosse pari non sarebbe semplificabile a meno che non si possano ricondurre a una somma di potenze di grado dispari.
Comunque aspetto il procedimento dei tuoi esercizi
Non c'è una regola più generale per gli esponenti dispari? In modo da poter applicarla a qualunque termine con esponente dispari..
Quella che ti ho scritto non ti piace? Te l'ho fatta così perchè era simile al tuo caso; ma è praticamente la generale se proprio ci tieni a quella generale per gli esponenti dispari è così:
$a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-...+b^(n-1))$
con $n$ esponente dispari ovviamente
$a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-...+b^(n-1))$
con $n$ esponente dispari ovviamente
Se non ricordi la soluzione puoi sempre risolvere con Ruffini. Come numero da mettere nella tabella se hai $a^n +b^n$ usi $-b$, se hai $a^n-b^n$ allora devi usare $b$. La cosa funziona solo con $n$ dispari.
Vi ringrazio, chiedevo la formula generale per riuscire a farlo in tutti i casi! Ruffini anche con due incognite?
Si, anche con 2 incognite; basta trattarla come se fosse una costante.
Quindi in sostanza x o y la prendo come"termine noto" e l'altro mi resta come incognita. E poi risolvo anche l'altra sempre con Ruffini? È fattibile?
Si è fattibile solo che devi stare attento ad utilizzarla solo quando ci sono esponenti dispari come diceva @melia.
Ma con una sola incognita, anche con esponente pari , posso utilizzare Ruffini?
$a^2+b^2$ è irriducibile.
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