Scomposizione e geometria.
Si costruisce una scatola aperta a forma di parallelepipedo ritagliando dai quattro angoli di un cartoncino rettangolare quattro quadrati il cui lato, in cm, misura $ x $ e ripiegando il cartoncino. Sapendo che il volume della scatola (in cm3) è espresso dalla funzione $ V(x)=4x^3-52x^2+160x $, con $ 0< x< 5 $, determina l'area del cartoncino originario.
Ragionamento:
Ho scomposto il volume, mettendo a fattore comune la $ x $ in modo tale da avere l'area di base della scatola.
Ho provato poi a scrivere l'area del cartoncino come somma dell'area di base e laterale della scatola e dei quattro quadrati ritagliati; speravo di ottenere qualche espressione algebrica interessante in modo tale da elidere la $ x $, ma non l'ho individuata.
Ragionamento:
Ho scomposto il volume, mettendo a fattore comune la $ x $ in modo tale da avere l'area di base della scatola.
Ho provato poi a scrivere l'area del cartoncino come somma dell'area di base e laterale della scatola e dei quattro quadrati ritagliati; speravo di ottenere qualche espressione algebrica interessante in modo tale da elidere la $ x $, ma non l'ho individuata.
Risposte
"zaser123":
Si costruisce una scatola aperta a forma di parallelepipedo ritagliando dai quattro angoli di un cartoncino rettangolare quattro quadrati il cui lato, in cm, misura $ x $ e ripiegando il cartoncino. Sapendo che il volume della scatola (in cm3) è espresso dalla funzione $ V(x)=4x^3-52x^2+160x $, con $ 0< x< 5 $, determina l'area del cartoncino originario.
Se il rettangolo originale è $a$ per $b$ la scatola è $(a-2x)$ per $(b-2x)$ per $x$.
"ghira":
[quote="zaser123"]Si costruisce una scatola aperta a forma di parallelepipedo ritagliando dai quattro angoli di un cartoncino rettangolare quattro quadrati il cui lato, in cm, misura $ x $ e ripiegando il cartoncino. Sapendo che il volume della scatola (in cm3) è espresso dalla funzione $ V(x)=4x^3-52x^2+160x $, con $ 0< x< 5 $, determina l'area del cartoncino originario.
Se il rettangolo originale è $a$ per $b$ la scatola è $(a-2x)$ per $(b-2x)$ per $x$.[/quote]
Devo mettere a confronto il volume della scatola da te espresso con quello espresso dal testo?
Comunque il risultato deve essere in forma numerica (160 cm2).
"zaser123":
Devo mettere a confronto il volume della scatola da te espresso con quello espresso dal testo?
Se lo fai, ottieni qualcosa?
Non mi sembra.
@ghira ti ha detto che se $a xx b$ sono le dimensioni originali del foglio, le tre dimensioni della scatola sono $(a-2x), (b-2x), x$.
Disegna e verifica.
Se queste sono le dimensioni della scatola allora il volume sarà $V=(a-2x)(b-2x)x$ ovvero $V=x^3-(a+b)x^2+abx$.
Da qui si prosegue ...
Disegna e verifica.
Se queste sono le dimensioni della scatola allora il volume sarà $V=(a-2x)(b-2x)x$ ovvero $V=x^3-(a+b)x^2+abx$.
Da qui si prosegue ...
$ (a-2x) (b-2x) x=4x^3-52x^2+160x $ $ rArr $ $ -2x^2 (a+b)+abx=-52x^2+160x $ $ rArr $ $ ab=2x (a+b)-52x+160 $ $ rArr $ $ ab=2x (a+b-26)+160 $.
Sono riuscito ad arrivare solo a questo.
Sono riuscito ad arrivare solo a questo.
A parte un banale errore di calcolo, axpgn ti ha risolto il problema
$V=4x^3-2(a+b)x^2+abx$
Sostituendo nella formula iniziale ottieni $a+b=26$ e $ab=160$
Non so come fai ad avere tutte le incognite in un’unica equazione. Devi usare il principio di identità dei polinomi uguagliando i coefficienti delle potenze di $x$
$V=4x^3-2(a+b)x^2+abx$
Sostituendo nella formula iniziale ottieni $a+b=26$ e $ab=160$
Non so come fai ad avere tutte le incognite in un’unica equazione. Devi usare il principio di identità dei polinomi uguagliando i coefficienti delle potenze di $x$
Grazie, ora ho capito. Io avevo cercato di ragionare nei termini di un'equazione che metteva a confronto i due volumi della scatola.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo