Scomposizione di un quadrinomio
Salve a tutti, data la seguente frazione: $ (6(2x^2+5x+1))/(x^3+9x^2+23x+15) $
non riesco a decomporre il denominatore, o forse non è possibile per via del numero 23.
Qualcuno mi aiuta?
non riesco a decomporre il denominatore, o forse non è possibile per via del numero 23.
Qualcuno mi aiuta?
Risposte
Prova con Ruffini...
si è divisibile per ruffini
Piccolo trucco: se la somma dei coefficienti di posto pari è uguale alla somma dei coefficienti di posto dispari allora il polinomio si annulla per $x=-1$. Nel tuo caso $1+23 = 9+15$, quindi... 
Nel ripassare Ruffini, ho riscontrato delle perplessità sulle procedure. Chiedo se le mie annotazioni sono corrette nell'allegato.
Il testo originale del libro è corretto, ti ricordo che k è il valore che assegnato alla lettera del polinomio dividendo lo annulla. Inoltre è anche il valore che annulla il binomio divisore che di conseguenza sarà (x-k).
...ovviamente una coerente inversione del segno del k ed una conseguente inversione dell'operazione somma produrrebbe il medesimo risultato, ma è una inutile complicazione e non più calzante con l'esempio del libro e della stragrande parte dei testi scolastici 
Daccordo ma mi interessa capire dove sbaglio nella comprensione della lettura.
Prendiamo la definizione del secondo coefficiente per il quoto di $ 5x^3-7x^2-6x-1: x-2 $
il testo dice:
il secondo coefficiente si ottiene addizionando (+) al secondo coefficiente del polinomio del dividendo(-7);
quindi $ -7+(........) $
il prodotto della moltiplicazione del primo coefficiente del polinomio quoziente (+5) per k (-2);
quindi -7+(+5*-2)=-7-10=-17
Mentre la formula corretta è $ -7-(+5*-2)=+3 $
Prendiamo la definizione del secondo coefficiente per il quoto di $ 5x^3-7x^2-6x-1: x-2 $
il testo dice:
il secondo coefficiente si ottiene addizionando (+) al secondo coefficiente del polinomio del dividendo(-7);
quindi $ -7+(........) $
il prodotto della moltiplicazione del primo coefficiente del polinomio quoziente (+5) per k (-2);
quindi -7+(+5*-2)=-7-10=-17
Mentre la formula corretta è $ -7-(+5*-2)=+3 $
Sbagli nel valore del k che è 2 e non -2. K è il valore che annulla il polinomio ed anche il binomio x-k.
Chiarissimo, grazie
...un piacere...
"minomic":
Piccolo trucco: se la somma dei coefficienti di posto pari è uguale alla somma dei coefficienti di posto dispari allora il polinomio si annulla per $x=-1$. Nel tuo caso $1+23 = 9+15$, quindi...
Bene ho chiarito:
$ x^3+9x^2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5) $
Ringrazio tutti coloro che hanno avuto la pazienza di aiutarmi ed inoltre aggiungo l'autore del libro http://www.ripmat.it/index.html.
Un'ultima richiesta: sapresti indicarmi su quale testo on-line posso trovare il trucco descritto nella citazione?
Ciao, non so dove si possa trovare ma posso fornirne una dimostrazione (per lo meno abbozzata).
Enunciato: dato un polinomio $$p\left(x\right) = \cdots + \alpha_{2n}x^{2n}+\alpha_{2n-1}x^{2n-1}+\alpha_{2n-2}x^{2n-2}+\cdots+\alpha_1 x^1+\alpha_0 x^0$$ se vale \[\tag{*}\alpha_{2n}+\alpha_{2n-2}+\cdots+\alpha_0 = \alpha_{2n-1}+\alpha_{2n-3}+\cdots+\alpha_1\] allora $$p\left(-1\right) = 0.$$
Dimostrazione: sostituendo $x=-1$, per tutte le potenze pari abbiamo $$x^{2n} = x^{2n-2} = \cdots = x^0 = \left(-1\right)^2 = 1$$ Per tutte le potenze dispari invece $$x^{2n-1} = x^{2n-3} = \cdots = x^1 = -1$$ Quindi il polinomio diventa $$p\left(-1\right) = \cdots + \alpha_{2n} - \alpha_{2n-1} + \alpha_{2n-2} + \cdots -\alpha_1 + \alpha_0$$ ma questo è nullo per l'ipotesi \(\left(*\right)\).
Enunciato: dato un polinomio $$p\left(x\right) = \cdots + \alpha_{2n}x^{2n}+\alpha_{2n-1}x^{2n-1}+\alpha_{2n-2}x^{2n-2}+\cdots+\alpha_1 x^1+\alpha_0 x^0$$ se vale \[\tag{*}\alpha_{2n}+\alpha_{2n-2}+\cdots+\alpha_0 = \alpha_{2n-1}+\alpha_{2n-3}+\cdots+\alpha_1\] allora $$p\left(-1\right) = 0.$$
Dimostrazione: sostituendo $x=-1$, per tutte le potenze pari abbiamo $$x^{2n} = x^{2n-2} = \cdots = x^0 = \left(-1\right)^2 = 1$$ Per tutte le potenze dispari invece $$x^{2n-1} = x^{2n-3} = \cdots = x^1 = -1$$ Quindi il polinomio diventa $$p\left(-1\right) = \cdots + \alpha_{2n} - \alpha_{2n-1} + \alpha_{2n-2} + \cdots -\alpha_1 + \alpha_0$$ ma questo è nullo per l'ipotesi \(\left(*\right)\).
Grazie
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