Scomposizione di un polinomio
So di avere poca esperienza e molti esercizi non riesco a risolverli a colpo d'occhio, ma vorrei cominciare a pensare di riuscirci 
Se io ho la seguente equazione:
$ x^2-3x+2=0 $
Posso arrivare a dire che equivale a dire che
$ (x-1)(x-2)=0 $
Perfetto, io la risolvo mediante la seguente
$ x=(-b+-sqrt(Delta))/(2a) $
ecc. ecc. .........
Ma voi come fate per risolverla a colpo d'occhio?
Cosa vi viene in mente quando vedete questa equazione $ x^2-3x+2=0 $
Come fate ad essere veloci nel risolverla
Vi ringrazio anticipatamente!
Se io ho la seguente equazione:
$ x^2-3x+2=0 $
Posso arrivare a dire che equivale a dire che
$ (x-1)(x-2)=0 $
Perfetto, io la risolvo mediante la seguente
$ x=(-b+-sqrt(Delta))/(2a) $
ecc. ecc. .........
Ma voi come fate per risolverla a colpo d'occhio?
Cosa vi viene in mente quando vedete questa equazione $ x^2-3x+2=0 $
Come fate ad essere veloci nel risolverla
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Ho ricordato vagamente un metodo, ma ditemi voi se è corretto e quindi se ho ricordato bene.....
Ipotizzo di avere la seguente equazione di secondo grado:
$ x^2+5x-6=0 $
Senza utilizzare $ x=(-b+-sqrt(Delta))/(2a) $ ecc. ecc. ...... ho pensato di utilizzare una regola, che non ricordo bene come si chiama, ma che funziona
Io cercherò quei due numeri il cui prodotto darà lo stesso numero quando verrà sommato, faccio un esempio....
$ (+6)*(-1)=-6 $ che equivale al termine noto $ c $
$ (+6)(-1)=+5 $ che equivale al termine $ b $
Cosa ne dite?
Grazie mille!
Ipotizzo di avere la seguente equazione di secondo grado:
$ x^2+5x-6=0 $
Senza utilizzare $ x=(-b+-sqrt(Delta))/(2a) $ ecc. ecc. ...... ho pensato di utilizzare una regola, che non ricordo bene come si chiama, ma che funziona
Io cercherò quei due numeri il cui prodotto darà lo stesso numero quando verrà sommato, faccio un esempio....
$ (+6)*(-1)=-6 $ che equivale al termine noto $ c $
$ (+6)(-1)=+5 $ che equivale al termine $ b $
Cosa ne dite?
Grazie mille!
Sì, tecnicamente quello che dici è corretto. Ma c'è qualcosa che non va in questo:
Non capisco bene quello che hai fatto.
Uso il caso che hai descritto e chiamo i due numeri che ci servono \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \). La somma delle due radici dell'equazione è \(\displaystyle s=-\frac{b}{a} \), il prodotto è \(\displaystyle p=\frac{c}{a} \)
Quindi si tratta di risolvere il sistema simmetrico:
\(\displaystyle \begin{cases}\alpha+ \beta=-5 \\ \alpha \beta=-6
\end{cases} \)
Ma un sistema simmetrico somma e prodotto si risolve con un'equazione di secondo grado:
\(\displaystyle x^2+5x-6=0 \). Quindi i due numeri \(\displaystyle \alpha,\beta \) che poi sono le radici dell'equazione puoi trovarli ad occhio, ma in genere ti consiglio l'uso della formula, perchè è semplice trovare i numeri quando sono interi ma molto più difficile se sono frazionari o addirittura reali.
"Bad90":
Io cercherò quei due numeri il cui prodotto darà lo stesso numero quando verrà sommato, faccio un esempio....
$ (+6)*(-1)=-6 $ che equivale al termine noto $ c $
$ (+6)(-1)=+5 $ che equivale al termine $ b $
Non capisco bene quello che hai fatto.
Uso il caso che hai descritto e chiamo i due numeri che ci servono \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \). La somma delle due radici dell'equazione è \(\displaystyle s=-\frac{b}{a} \), il prodotto è \(\displaystyle p=\frac{c}{a} \)
Quindi si tratta di risolvere il sistema simmetrico:
\(\displaystyle \begin{cases}\alpha+ \beta=-5 \\ \alpha \beta=-6
\end{cases} \)
Ma un sistema simmetrico somma e prodotto si risolve con un'equazione di secondo grado:
\(\displaystyle x^2+5x-6=0 \). Quindi i due numeri \(\displaystyle \alpha,\beta \) che poi sono le radici dell'equazione puoi trovarli ad occhio, ma in genere ti consiglio l'uso della formula, perchè è semplice trovare i numeri quando sono interi ma molto più difficile se sono frazionari o addirittura reali.
"giannirecanati":
Sì, tecnicamente quello che dici è corretto. Ma c'è qualcosa che non va in questo:
Almeno sono riuscito a ricordare un metodo!
"giannirecanati":
Non capisco bene quello che hai fatto.
Uso il caso che hai descritto e chiamo i due numeri che ci servono \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \). La somma delle due radici dell'equazione è \(\displaystyle s=-\frac{b}{a} \), il prodotto è \(\displaystyle p=\frac{c}{a} \)
Quindi si tratta di risolvere il sistema simmetrico:
\(\displaystyle \begin{cases}\alpha+ \beta=-5 \\ \alpha \beta=-6
\end{cases} \)
Ma un sistema simmetrico somma e prodotto si risolve con un'equazione di secondo grado:
\(\displaystyle x^2+5x-6=0 \). Quindi i due numeri \(\displaystyle \alpha,\beta \) che poi sono le radici dell'equazione puoi trovarli ad occhio, ma in genere ti consiglio l'uso della formula, perchè è semplice trovare i numeri quando sono interi ma molto più difficile se sono frazionari o addirittura reali.
Sapevo che la mia memoria ricordava un metodo, ma mi rendo conto che hai pienamente ragione, se si tratta di numeri interi tutto fila liscio, altrimenti le cose si complicano!
Grazie mille!
Sono in parziale disaccordo con giannirecanati: quando i numeri sono interi e il coefficiente di $x^2$ è 1 conviene usare il metodo che Bad 90 ricorda. Badando però al fatto che quella era la scomposizione in fattori del trinomio, cioè si aveva $x^2+5x-6=(x+6)(x-1)$; se in coda aggiungi un $=0$, trasformando in equazione, noti che le soluzioni sono -6 e +1 cioè che si ha un cambiamento di segno (e infatti se $a=1$ si ha $x_1+x_2=-b/a=-b$, col segno cambiato)
Con questo metodo, mi sembra che fin quando si hanno delle equazioni $ vv $ disequazioni del tipo $x^2+5x-6=0$ è molto più facile e rapido che risolvere una di queste $2x^2-9x+4=0$, Secondo me, in questi ultimi casi di equazioni con un valore di $ a>1 $, conviene risolverla con la classica formula $ x=(-b+-sqrt(Delta))/(2a) $
Voi cosa ne dite?
Secondo me, in questi ultimi casi di equazioni con un valore di $ a>1 $, conviene risolverla con la classica formula $ x=(-b+-sqrt(Delta))/(2a) $ Voi cosa ne dite?
Sono d'accordo: con $a!=1$ la soluzione a mente diventa faticosa, con qualche rara eccezione.
Sto cercando di scomporre il seguente polinomio:
$ 18sqrt(3)m^3+3m^2+4sqrt(3)m+4=0 $
Se ricordo bene devo imporre le condizioni di esistenza, giusto? E' giusto imporre solo la condizione $ m != 0 $
Ho provato a risolverla con Ruffini ma ho avuto difficoltà, alla fine ho pensato di fare nel seguente modo:
$ 3m^2(6sqrt(3)m+1)+4(sqrt(3)m+1)=0 $
$ (3m^2+4)(6sqrt(3)m+1)(sqrt(3)m+1)=0 $
$ 3m^2+4=0=>m^2=-4/3 $ Impossibile, quindi questa non è soluzione.
$ (6sqrt(3)m+1)=0=>m=-1/(6sqrt(3)) $ E' una soluzione.
$ (sqrt(3)m+1)=0=>m=-1/(sqrt(3)) $ E' una seconda soluzione.
Dite che ho fatto bene?
$ 18sqrt(3)m^3+3m^2+4sqrt(3)m+4=0 $
Se ricordo bene devo imporre le condizioni di esistenza, giusto? E' giusto imporre solo la condizione $ m != 0 $
Ho provato a risolverla con Ruffini ma ho avuto difficoltà, alla fine ho pensato di fare nel seguente modo:
$ 3m^2(6sqrt(3)m+1)+4(sqrt(3)m+1)=0 $
$ (3m^2+4)(6sqrt(3)m+1)(sqrt(3)m+1)=0 $
$ 3m^2+4=0=>m^2=-4/3 $ Impossibile, quindi questa non è soluzione.
$ (6sqrt(3)m+1)=0=>m=-1/(6sqrt(3)) $ E' una soluzione.
$ (sqrt(3)m+1)=0=>m=-1/(sqrt(3)) $ E' una seconda soluzione.
Dite che ho fatto bene?
piccola nota.
In generale , quando te hai un equazione di secondo grado del tipo $ax^2+bc+c=0$ con radici $x_1 ^^ x_2$
non è vero che il polinomio $ax^2+bx+c = (x-x_1)(x-x_2)$! è vero se e solo se $a=1$.
la scomposizione corretta sarebbe
$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$
In generale , quando te hai un equazione di secondo grado del tipo $ax^2+bc+c=0$ con radici $x_1 ^^ x_2$
non è vero che il polinomio $ax^2+bx+c = (x-x_1)(x-x_2)$! è vero se e solo se $a=1$.
la scomposizione corretta sarebbe
$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$
"Bad90":
Sto cercando di scomporre il seguente polinomio:
$ 18sqrt(3)m^3+3m^2+4sqrt(3)m+4=0 $
Se ricordo bene devo imporre le condizioni di esistenza, giusto? E' giusto imporre solo la condizione $ m != 0 $
No. Non ci sono restrizioni su $m$.
"Bad90":
Ho provato a risolverla con Ruffini ma ho avuto difficoltà, alla fine ho pensato di fare nel seguente modo:
$ 3m^2(6sqrt(3)m+1)+4(sqrt(3)m+1)=0 $
$ (3m^2+4)(6sqrt(3)m+1)(sqrt(3)m+1)=0 $
.....
Dite che ho fatto bene?
No. Non è vero che
$3m^2(6sqrt(3)m+1)+4(sqrt(3)m+1)= (3m^2+4)(6sqrt(3)m+1)(sqrt(3)m+1)$.
E come dovrei fare?
Come bisogna risolverlo?
Ti ringrazio!
Come bisogna risolverlo?
Ti ringrazio!
Chiaraotta ti ha già indicato l'errore: se ci fossero due parentesi uguali potresti mettere in evidenza, ma non è così.
La regola di Ruffini mi sembra l'unico modo per scomporre ed effettivamente richiede molti tentativi: quello che va bene è dividere per $(3sqrt3 m+2)$
La regola di Ruffini mi sembra l'unico modo per scomporre ed effettivamente richiede molti tentativi: quello che va bene è dividere per $(3sqrt3 m+2)$
"giammaria":
Quello che va bene è dividere per $(3sqrt3 m+2)$
Infatti, ho provato a risolvere con ruffini, poi mi stavo perdendo e ho lasciato stare tutto! Ho notato che il metodo da te consigliato, è molto utilizzato per risolvere casi simili!
Adesso provo a fare i calcoli!
Allora, comincio da:
$ 18sqrt(3)m^3+3m^2+4sqrt(3)m+4=0 $
Come faccio a dividere per $(3sqrt3 m+2)$
Devo continuare da quì?
$ 3m^2(6sqrt(3)m+1)+4(sqrt(3)m+1)=0 $
E' possibile più di un metodo; ti spiego quello che ho seguito io. Le radici non mi piacevano; ho notato che comparivano in tutti e soli i termini di grado dispari e che quindi si sarebbero semplificate facendo la sostituzione $m=x/(sqrt3)$. Ho così ottenuto l'equazione
$6x^3+x^2+4x+4=0$
e il divisore diventa $(3x+2)$. Posso ora fare la divisione; se ricordi come si fa la normale divisione fra polinomi, senza Ruffini, forse è il metodo più facile. Se invece vuoi usare Ruffini, nel divisore la $x$ deve avere coefficiente 1 e lo otteniamo dividendo per 3: il divisore diventa $(x+2/3)$ e non dovresti avere difficoltà a completare i calcoli, tornando alla fine alla variabile $m$. Poiché il divisore è stato diviso per 3, il quoziente risulterà moltiplicato per 3 ma questo non ti crea alcun problema.
$6x^3+x^2+4x+4=0$
e il divisore diventa $(3x+2)$. Posso ora fare la divisione; se ricordi come si fa la normale divisione fra polinomi, senza Ruffini, forse è il metodo più facile. Se invece vuoi usare Ruffini, nel divisore la $x$ deve avere coefficiente 1 e lo otteniamo dividendo per 3: il divisore diventa $(x+2/3)$ e non dovresti avere difficoltà a completare i calcoli, tornando alla fine alla variabile $m$. Poiché il divisore è stato diviso per 3, il quoziente risulterà moltiplicato per 3 ma questo non ti crea alcun problema.
"giammaria":
Posso ora fare la divisione; se ricordi come si fa la normale divisione fra polinomi, senza Ruffini, forse è il metodo più facile.
Infatti, è meglio fare la divisione, ho ottenuto:
$ 2x^2-x+2=0 $
Solo che non ho capito bene, il perchè hai deciso di dividere per $ (3x+2) $ , cosa ti ha fatto decidere questo
Ti ringrazio!
Correggo: si ottiene
$(3x+2)(2x^2-x+2)=0$
La divisione serve per scomporre in fattori ma nell'equazione non posso trascurare il divisore.
Quanto alla tua domanda, la regola di Ruffini cerca che i divisori del tipo $(x+-b/a)$ con $a, b$ interi e dice che se il polinomio ha tutti segni + c'è il più e che $a$ deve essere un sottomultiplo del primo coefficiente (e quindi può valere 1, 2, 3 o 6) e $b$ un sottomultiplo dell'ultimo (1, 2 o 4). La regola si accontenta di dire di fare tutti i tentativi possibili ma erano veramente molti ed ho fatto ricorso alle intersezioni con l'asse x di $y=6x^3+x^2+4x+4$, che disegno dando ad x alcuni valori e calcolando y. Trovo che passa per $(0,4)$ e $(-1,-5)$ quindi ci sarà un'intersezione fra -1 e 0; ho provato a metà, trovando il punto $(-1/2,3/2)$. L'intersezione sarà quindi fra -1 e -1/2 e l'unico valore ottenibile con la regola data e compreso in quell'intervallo è $x=-2/3$: l'ho provato ed ho visto che andava bene.
Spero che il segno meno non ti sembri contradditorio: deriva dal fatto che se ho $(x+2/3)(...)=0$ una soluzione è $x+2/3=0=>x=-2/3$
$(3x+2)(2x^2-x+2)=0$
La divisione serve per scomporre in fattori ma nell'equazione non posso trascurare il divisore.
Quanto alla tua domanda, la regola di Ruffini cerca che i divisori del tipo $(x+-b/a)$ con $a, b$ interi e dice che se il polinomio ha tutti segni + c'è il più e che $a$ deve essere un sottomultiplo del primo coefficiente (e quindi può valere 1, 2, 3 o 6) e $b$ un sottomultiplo dell'ultimo (1, 2 o 4). La regola si accontenta di dire di fare tutti i tentativi possibili ma erano veramente molti ed ho fatto ricorso alle intersezioni con l'asse x di $y=6x^3+x^2+4x+4$, che disegno dando ad x alcuni valori e calcolando y. Trovo che passa per $(0,4)$ e $(-1,-5)$ quindi ci sarà un'intersezione fra -1 e 0; ho provato a metà, trovando il punto $(-1/2,3/2)$. L'intersezione sarà quindi fra -1 e -1/2 e l'unico valore ottenibile con la regola data e compreso in quell'intervallo è $x=-2/3$: l'ho provato ed ho visto che andava bene.
Spero che il segno meno non ti sembri contradditorio: deriva dal fatto che se ho $(x+2/3)(...)=0$ una soluzione è $x+2/3=0=>x=-2/3$
Ok, adesso vedo di meditare su quanto mi hai detto!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo