Scomposizione di un polinomio

[Bertaz1]

Ciao,

Vi chiedo aiuto per una semplice lacuna che ho.
Nella scomposizione di un polinomio: $ (x+1)/(3x^2+x-2) $

Nel momento in cui svolgo il procedimento tramite $ [-b\pm \√(b^2-4ac)]/(2a) $
trovo come risultati 2/3 e -1

Alle superiori mi avevano insegnato che se trovato ad esempio 2 e 3,
potevo scrivere il polinomio sotto forma di $ (x-2)(x-3) $ ,
quindi io ho sempre pensato che dovessi in qualche modo scrivere il polinomio in modo tale che all'interno delle parentesi, una volta sostituito la x, avrei potuto ottenere 0.

Tuttavia, oggi, facendo lo stesso ragionamento con il polinomio sopra indicato, mi verrebbe da scrivere: $ (x+1)/[(x-2/3)(x+1)] $
ma sarebbe scorretto, in quanto la soluzione è: $ (x+1)/[(3x-2)(x+1)] $

È quindi il ragionamento in grassetto totalmente infondato? Anche perché se provo a svolgere ciò che ho trascritto a denominatore, non esce come risultato il polinomio precedente.

Scusate se non sono stato molto conciso,
Vi ringrazio già in attesa di una risposta

[quantunquemente]

in generale,ove sia possibile,il polinomio $ax^2+bx+c$ si scompone in $a(x-x_1)(x-x_2)$ con $x_1,x_2$ soluzioni dell'equazione associata

[Bertaz1]

Grazie mille, risulta corretto.