Scomposizione di un fattore
Salve,
ho un piccolo problema. Devo scomporre questo polinomio: $x^12-5x^6+4$ e sono arrivato fino qui $(x^6-1)*(x^6-4)$. Ma la risposta esatta sarebbe $(x-1)*(x*1)*(x^3-2)*(x^3+2)*(x^2+x+1)*(x^2-x+1)$. Non riesco ad arrivare alla stessa risposta... Qualcuno di voi mi può aiutare?
Grazie mille,
Gabriel
ho un piccolo problema. Devo scomporre questo polinomio: $x^12-5x^6+4$ e sono arrivato fino qui $(x^6-1)*(x^6-4)$. Ma la risposta esatta sarebbe $(x-1)*(x*1)*(x^3-2)*(x^3+2)*(x^2+x+1)*(x^2-x+1)$. Non riesco ad arrivare alla stessa risposta... Qualcuno di voi mi può aiutare?
Grazie mille,
Gabriel
Risposte
Innanzitutto, entrambi i fattori in cui hai scomposto il polinomio iniziale sono differenze di quadrati. Scomponendole, otterrai anche una somma e una differenza di cubi: fattorizza anche quelle e avrai finito.
Ok,
ma ad esempio se prendo il primo binomio tra parentesi $(x^6-1)$, ho una differenza di cubi giusto. La prima risposta è quindi $(x^2-1)*(x^4+x^2+1)$? Giusto?
ma ad esempio se prendo il primo binomio tra parentesi $(x^6-1)$, ho una differenza di cubi giusto. La prima risposta è quindi $(x^2-1)*(x^4+x^2+1)$? Giusto?
Il tuo risultato è giusto ma poi ti resta da scomporre $x^4+x^2+1$ e questo richiede un piccolo trucco. Precisamente
devi scriverlo come $(x^2+1)^2-x^2$ e poi scomporlo come differenza di quadrati.
devi scriverlo come $(x^2+1)^2-x^2$ e poi scomporlo come differenza di quadrati.
Ok grazie,
ma fino qui ero arrivato ad $(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1)(x^3+2)(x^3-2)$. Per arrivare a la risposta che ho messo nel primo post (l'esercizio la mette alla fine) dovrei riuscire a scomporre $(x^4+x^2+1)$ per arrivare a $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$. Come faccio?
Grazie ancora.
ma fino qui ero arrivato ad $(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1)(x^3+2)(x^3-2)$. Per arrivare a la risposta che ho messo nel primo post (l'esercizio la mette alla fine) dovrei riuscire a scomporre $(x^4+x^2+1)$ per arrivare a $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$. Come faccio?
Grazie ancora.
Te l'ho scritto 
:
$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)(x^2+1+x)$
:$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)(x^2+1+x)$
Ok capito! Mi devi scusare se sono un po' lento. Non studio matematica da parecchi anni... Ma quest'ultimo passaggio ha un nome? Perché non è ne una differenza di quadrati, ne un cubo di binomio, ne un quadrato di binomio. E comunque un prodotto notevole?
Ok! Ho già capito! Anche questo l'avevi scritto! E proprio una differenza di quadrati! Grazie e scusami ancora...
Gabriel
Gabriel
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