Scomposizione di radici....
Ciao a tutti, ho un problema a mettere in evidenza qualcosa in questo esercizio: $(sqrt(x+1)-sqrt(1-x))(x+1)(1-x)+8x(sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))>=0$ io ho provato a fare in questo modo:
$sqrt((x+1))(x+1)(1-x)-sqrt((1-x))(x+1)(1-x)+8xsqrt((x+1)^3)+8xsqrt((1-x)^3)>=0$
$sqrt((x+1)^3)(1-x)-sqrt((1-x)^3)(x+1)+8xsqrt((x+1)^3)+8xsqrt((1-x)^3)>=0$
$sqrt((x+1)^3)[(1-x)+8x]-sqrt((1-x)^3)[(x+1)+8x]>=0$
$sqrt((x+1)^3)[7x+1]-sqrt((1-x)^3)[9x+1]>=0$ e non riesco a fare niente più perchè poi quando vado a studiare tutto ho un polinomino di grado 5...
$sqrt((x+1))(x+1)(1-x)-sqrt((1-x))(x+1)(1-x)+8xsqrt((x+1)^3)+8xsqrt((1-x)^3)>=0$
$sqrt((x+1)^3)(1-x)-sqrt((1-x)^3)(x+1)+8xsqrt((x+1)^3)+8xsqrt((1-x)^3)>=0$
$sqrt((x+1)^3)[(1-x)+8x]-sqrt((1-x)^3)[(x+1)+8x]>=0$
$sqrt((x+1)^3)[7x+1]-sqrt((1-x)^3)[9x+1]>=0$ e non riesco a fare niente più perchè poi quando vado a studiare tutto ho un polinomino di grado 5...
Risposte
Hai provato scomponendo come somma di cubi? Voglio dire:
$sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3)=(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))(x+1+1-x-sqrt((x+1)(1-x)))$
$sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3)=(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))(x+1+1-x-sqrt((x+1)(1-x)))$
no non ho provato, dunque viene:
$(sqrt((x+1))-sqrt((1-x)))(x+1)(1-x)+8x(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))(x+1+1-x-sqrt((x+1)(1-x)))$
$(sqrt((x+1))-sqrt((1-x)))(x+1)(1-x)+8x(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))(2-sqrt((x+1)(1-x)))$;
però adesso manco niente posso mettere in evidenza niente perchè ho $sqrt((x+1))-sqrt((1-x))$ e $sqrt(x+1)+sqrt(1-x)$ che non sono la stessa cosa....
$(sqrt((x+1))-sqrt((1-x)))(x+1)(1-x)+8x(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))(x+1+1-x-sqrt((x+1)(1-x)))$
$(sqrt((x+1))-sqrt((1-x)))(x+1)(1-x)+8x(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))(2-sqrt((x+1)(1-x)))$;
però adesso manco niente posso mettere in evidenza niente perchè ho $sqrt((x+1))-sqrt((1-x))$ e $sqrt(x+1)+sqrt(1-x)$ che non sono la stessa cosa....
Io ragionerei in questo modo ....
Intanto la disequazione $(sqrt(x+1)-sqrt(1-x))(x+1)(1-x) + 8x(sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))>=0$ è definita per $-1 <= x <= 1$.
Se la si riscrive così
$(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (sqrt(x+1)-sqrt(1-x)) * (x+1) * (1-x)+8x * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3)) >= 0$
diventa
$((x+1)-(1-x))/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (x+1) * (1-x) + 8x * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3)) >= 0$
$(2x)/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (1-x^2) + 8x * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3)) >= 0$
$2x * [1/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (1-x^2) + 4 * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))] >= 0$
Il fattore $[1/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (1-x^2) + 4 * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))]$ per $-1 <= x <= 1$ è sicuramente $> 0$, perciò la disequazione diventa $2x >=0$, sempre con $-1 <= x <= 1$. Quindi la soluzione è $0 <= x <= 1$.
Intanto la disequazione $(sqrt(x+1)-sqrt(1-x))(x+1)(1-x) + 8x(sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))>=0$ è definita per $-1 <= x <= 1$.
Se la si riscrive così
$(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (sqrt(x+1)-sqrt(1-x)) * (x+1) * (1-x)+8x * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3)) >= 0$
diventa
$((x+1)-(1-x))/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (x+1) * (1-x) + 8x * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3)) >= 0$
$(2x)/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (1-x^2) + 8x * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3)) >= 0$
$2x * [1/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (1-x^2) + 4 * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))] >= 0$
Il fattore $[1/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (1-x^2) + 4 * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))]$ per $-1 <= x <= 1$ è sicuramente $> 0$, perciò la disequazione diventa $2x >=0$, sempre con $-1 <= x <= 1$. Quindi la soluzione è $0 <= x <= 1$.
Buon lavoro! 
si infatti io non ci sarei mai arrivato sei veramente brava/o...
come hai fatto a capire che quel fattore enorme è sicuramente maggiore di zero nel dominio?
come hai fatto a capire che quel fattore enorme è sicuramente maggiore di zero nel dominio?
Se osservi un attimo il fattore $[1/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (1-x^2) + 4 * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))]$ noti che sono ovviamente $> 0$ i termini $1/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x))$ (le radici quadrate sono $>= 0$ e queste due non si annullano simultaneamente), $4 * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))$ (per la stessa ragione). Il fattore $(1-x^2)$ per $-1 <= x <= 1$ è $>= 0$. Quindi certamente $[1/(sqrt(x+1)+sqrt(1-x)) * (1-x^2) + 4 * (sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))] > 0$ per quei valori della $x$.
pensavo che avevi calcolato il dominio e quindi, considerando il dominio avevi dedotto che tutto il fattore è positivo in $D$
Infatti ....
perchè giustamente il dominio è dato dalle radici....
Certo. Deve essere
$\{(x + 1 >= 0), (1 - x >=0):}$
che appunto ha per soluzione $-1 <= x <= 1$.
Per questi valori della $x$ il fattore fra parentesi quadrata è $> 0$, cosa che consente di risolvere velocemente la disequazione.
$\{(x + 1 >= 0), (1 - x >=0):}$
che appunto ha per soluzione $-1 <= x <= 1$.
Per questi valori della $x$ il fattore fra parentesi quadrata è $> 0$, cosa che consente di risolvere velocemente la disequazione.
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