Scomposizione di frazione
Buonasera a tutti come da titolo vorrei capire i passaggi per la scomposizione di due frazioni che ho trovato in alcuni esercizi sugli integrali (prendetemi pure a parole ma ho avuto sempre brutte esperienze con i prof di matematica, uno metteva 7 se eri assente 
, e quindi sì mi ritrovo a fare gli integrali senza basi salde 
)
--- $t^4/(1+t^2)$ scoposta sarebbe $t^2+1/(t^2+1)-1$
--- $1/(t(t+1))$ scomposta sarebbe $1/t-1/(1+t)$
Dunque io in entrambi i casi sono perfettamente in grado di fare la verifica dei risultati (ottenuti mediane un noto tool online, non ho idea se si possa citare) ma vorrei riuscire a capire in che modo sono stati ottenuti. Io $1/(t(t+1))$ l'avrei fatta $1/t*1/(1+t)$, passaggio totalemnte inutile, ma lì c'è un simpatico meno..
OT: E' narutale che trattando di integrali in questo caso quel che si ricerca è di trasformare la frazione complessa in una somma di frazioni di cui si conosce l'integrale immediato, quindi io immagino che da una frazione di partenza devo individuare quella che vorrei avere e poi "aggiustare" con altri fattori/addendi. /OT
, e quindi sì mi ritrovo a fare gli integrali senza basi salde )--- $t^4/(1+t^2)$ scoposta sarebbe $t^2+1/(t^2+1)-1$
--- $1/(t(t+1))$ scomposta sarebbe $1/t-1/(1+t)$
Dunque io in entrambi i casi sono perfettamente in grado di fare la verifica dei risultati (ottenuti mediane un noto tool online, non ho idea se si possa citare) ma vorrei riuscire a capire in che modo sono stati ottenuti. Io $1/(t(t+1))$ l'avrei fatta $1/t*1/(1+t)$, passaggio totalemnte inutile, ma lì c'è un simpatico meno..
OT: E' narutale che trattando di integrali in questo caso quel che si ricerca è di trasformare la frazione complessa in una somma di frazioni di cui si conosce l'integrale immediato, quindi io immagino che da una frazione di partenza devo individuare quella che vorrei avere e poi "aggiustare" con altri fattori/addendi. /OT
Risposte
Ciao Markus, la sezione è sbagliata: qui siamo alle medie. Provvedo a spostare in secondaria di II grado.
Nel merito del tuo quesito, farei così:
$(t^4)/(1+t^2)=1/(1+t^2)+A+B$
$t^4=1+A(1+t^2)+B(1+t^2)$
$t^4=1+A+At^2+B+Bt^2$
ora da qualche parte deve uscire un $t^4$ e quindi facciamo che $B=t^2$
$t^4=1+A+At^2+t^2+t^4$
ora mi devono sparire un 1 e un $t^2$, allora facciamo che $A=-1$
$t^4=1-1-t^2+t^2+t^4$
ecco che i termini opposti si elidono e l'uguaglianza resta verificata. Ti sembra sensato?
Nel merito del tuo quesito, farei così:
$(t^4)/(1+t^2)=1/(1+t^2)+A+B$
$t^4=1+A(1+t^2)+B(1+t^2)$
$t^4=1+A+At^2+B+Bt^2$
ora da qualche parte deve uscire un $t^4$ e quindi facciamo che $B=t^2$
$t^4=1+A+At^2+t^2+t^4$
ora mi devono sparire un 1 e un $t^2$, allora facciamo che $A=-1$
$t^4=1-1-t^2+t^2+t^4$
ecco che i termini opposti si elidono e l'uguaglianza resta verificata. Ti sembra sensato?
"gio73":
Ciao Markus, la sezione è sbagliata: qui siamo alle medie. Provvedo a spostare in secondaria di II grado.
Nel merito del tuo quesito, farei così:[..]Ti sembra sensato?
Credevo fosse roba di medie uhm io alle superiore le frazioni non le ho mai fatte >.< in ogni caso grazie mille, l'inizio era come lo avevo abbozzato io mi sono perso nel mentre.
Fammi vedere lo svolgimento del secondo.
"gio73":
Fammi vedere lo svolgimento del secondo.
Dunque quel che ho fatto è sostanialmente quel che hai scritto nelle prime due righe della soluzione. Come dicevo nel post principale ho posto la frazione "complessa" uguale a quella "di cui so l'ingrale" più simile possibile e dopo ho cercato di "aggiustarla" in pratica ho scritto +x, quel che hai chiamato A.
Mi è mancata intanto l'idea di togliere il denominatore e, nel primo caso, quella di fare +x +y (cercavo a mente una unica frazione ch soddisfacesse l'ugualianza), continuavo a scriverla come prodotto di frazioni ovviamente senza nessun vantaggio. Sembreranno cavolate lette lì eppure da solo non ci sono arrivato.
In ogni modo seguendo la linea teorica del primo che hai suggerito il secondo è semplicissimo, quindi ho risolto.
Grazie mille.
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