Scomposizione del trinomio di secondo grado
Ciao ragazzi, vorrei chiarirmi un dubbio su un esercizio.
Questo:
Semplifica, se possibile, le seguenti frazioni algebriche, specificando per quali valori di x la semplificazione è valida.
La frazione su cui ho un dubbio è questa $(x^2+ x-2)/(2x^2-x-10)$
Quello che non capisco è come dovrei semplificare il numeratore e il denominatore! Dovrei utilizzare il metodo basato sull'equazione di secondo grado associata.
Grazie in anticipo
Questo:
Semplifica, se possibile, le seguenti frazioni algebriche, specificando per quali valori di x la semplificazione è valida.
La frazione su cui ho un dubbio è questa $(x^2+ x-2)/(2x^2-x-10)$
Quello che non capisco è come dovrei semplificare il numeratore e il denominatore! Dovrei utilizzare il metodo basato sull'equazione di secondo grado associata.
Grazie in anticipo
Risposte
Potresti fare così ma mi sembra un po' lungo... Per fare più in fretta puoi scomporre il numeratore cercando due numeri che abbiano somma $1$ e prodotto $-2$ che sono nello specifico $2$ e $-1$ così l'espressione diventa $(x+2)(x-1)$. In pratica sì, equivale a risolvere l'equazione di secondo grado, ma così diciamo "a occhio" è più comodo!
Per il denominatore cerca due numeri che abbiano come somma $-1$ e come prodotto $-20$ (ovvero $2\cdot(-10)$) che sono $-5$ e $4$. Puoi quindi riscrivere il denominatore come $2x^2+(-5+4)x-10$, $2x^2-5x+4x-10$, $2x(x+2)-5(x+2)$, $(2x-5)(x+2)$.
Quindi mettendo insieme la frazione hai $\frac{(x+2)(x-1)}{(2x-5)(x+2)}$, cioè semplificando $(x-1)/(2x-5)$.
Spero di non aver sbagliato i calcoli e che tu abbia capito abbastanza
magari poi scrivo bene queste regole generalizzandole...
Per il denominatore cerca due numeri che abbiano come somma $-1$ e come prodotto $-20$ (ovvero $2\cdot(-10)$) che sono $-5$ e $4$. Puoi quindi riscrivere il denominatore come $2x^2+(-5+4)x-10$, $2x^2-5x+4x-10$, $2x(x+2)-5(x+2)$, $(2x-5)(x+2)$.
Quindi mettendo insieme la frazione hai $\frac{(x+2)(x-1)}{(2x-5)(x+2)}$, cioè semplificando $(x-1)/(2x-5)$.
Spero di non aver sbagliato i calcoli e che tu abbia capito abbastanza
magari poi scrivo bene queste regole generalizzandole...
Allora: un trinomio di secondo grado si può scomporre con questo metodo "veloce" se è nella forma $x^2+sx+p$ dove $s=m+n$ e $p=m\cdotn$ dove $m$ ed $n$ sono due numeri (tra l'altro l'opposto delle due soluzioni dell'equazione). Perciò $x^2+sx+p=(x+m)(x+n)$
Se invece il termine di secondo grado non ha coefficiente $1$ (genericamente $ax^2+sx+c$), allora $p=a\cdotc=m\cdotn$ e quindi $ax^2+sx+c=ax^2+(m+n)x+c$. A questo punto si procede con un raccoglimento parziale, come nel tuo esempio.
Spero di essere stato chiaro perchè non mi è facile spiegare queste cose a parole
Se invece il termine di secondo grado non ha coefficiente $1$ (genericamente $ax^2+sx+c$), allora $p=a\cdotc=m\cdotn$ e quindi $ax^2+sx+c=ax^2+(m+n)x+c$. A questo punto si procede con un raccoglimento parziale, come nel tuo esempio.
Spero di essere stato chiaro perchè non mi è facile spiegare queste cose a parole
Gentilissimo.
Grazie per la spiegazione!
Ora è più chiaro anche se faccio sempre fatica a capire alcune cose.
Spero di capire del tutto facendo altri esercizi!
Grazie per la spiegazione!
Ora è più chiaro anche se faccio sempre fatica a capire alcune cose.
Spero di capire del tutto facendo altri esercizi!
Figurati 
Alla fine esercitarsi è sempre la cosa migliore, questi sono procedimenti lunghi da spiegare ma che con un po' di pratica vengono quasi spontanei!
Alla fine esercitarsi è sempre la cosa migliore, questi sono procedimenti lunghi da spiegare ma che con un po' di pratica vengono quasi spontanei!
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