Salve ragazzi avrei bisogno di una mano con questi problemi di Trigoniometria

[sirenakey]

1-Del triangolo ABC conosciamo l'angoloABC=75°,l'angoloACB=60° e l'altezza relativa al lato BC,AH=a.Determinare la misura del perimetro e dell'area del triangolo ABC

2-Il diametro AB di una semicirconferenza di centro O misura 2r e il quadrilatero ABCD in essa inscritto ha il lato CD congruente al raggio;si sa inoltre che il punto D è piu vicino ad A del punto C.determinare l'ampiezza 2x dell'angolo AOD,in modo che la somma dei lati opposti AD e BC sia in rapporto 2/3 con la soma degli altri due lati del quadrilatero.

Grazie

[BIT5]

1) l'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli.
Di entrambi conosciamo un angolo e il cateto opposto all'angolo.

Sapendo che in un triangolo rettangolo, il seno di un angolo e' dato dal rapporto tra cateto opposto e ipotenusa.

Pertanto consideriamo il triangolo ACH:

[math] \sin (60) = \frac{\bar{AH}}{\bar{AC}} \to \bar{AC}= \frac{\bar{AH}}{\sin(60)}= \frac{a}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{2a}{\sqrt3} = \frac{2\sqrt3a}{3} [/math]

mentre il coseno, dato dal rapporto tra cateto adiacente e ipotenusa sara'

[math] \cos(60)= \frac{\bar{CH}}{\bar{AC}} \to \bar{CH} = \frac12 \cdot \frac{2\sqrt3a}{3} = \frac{\sqrt3a}{3}[/math]

Analogamente calcoli i valori dell'altro triangolo rettangolo, ricordando che:

[math] \sin(75)= \sin (45+30)= \sin(45)\cos(30)+ \cos(45)\sin(30)= \\ \\ \\ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6+ \sqrt2}{4}[/math]

Sempre con le formule di addizione calcoli il coseno.

Potrai cosi' calcolarti i dati mancanti al completamento del problema.

Aggiunto 13 minuti più tardi:

Unisci i vertici D e C al centro O.

Essendo D e C sulla circonferenza, DO e CO = r

inoltre DC=r per ipotesi.

Considera il triangolo ADO.
Esso ha AO=DO=r e pertanto e' isoscele di base AD

Essendo l'angolo al vertice 2x, gli angoli alla base (che sono uguali) saranno, insieme, 180-2x, e quindi ognuno di questi

[math] \frac{180-2x}{2} = 90-x [/math]

Pertanto l'angolo OAD=90-x.

Consideriamo ora il triangolo DCO.

Esso ha DO=CO=r perche' raggi, DC=r per ipotesi. Pertanto il triangolo e' equilatero e ha tutti gli angoli di 60 gradi.

Allora l'angolo COB sara' 180-2x-60 = 120-2x.

E siccome analogamente a quanto fatto con ADO il triangolo CBO e' isoscele, gli angoli alla base misureranno (ciascuno)

[math] \frac{180-(120-2x)}{2} = 30+x [/math]

Traccia ora il segmento DB. Il triangolo ADB, inscritto in una semicirconferwnza, e' rettangolo in D.

Sappiamo che il rapporto tra cateto (AD) e ipotenusa (AB) e' il coseno dell'angolo compreso (coseno di 90-x)

PEr gli angoli associati, sappiamo che

[math] \cos (90-x) = \sin x [/math]

Dunque avremo

[math] \cos(90-x)= \frac{AD}{AB} \to \sin x = \frac{AD}{2r} \to AD=2r \sin x [/math]

Tracciamo il triangolo rettangolo BCA.

Analogamente a quanto detto, avremo che

[math] BC=2r \cos (30+x) [/math]

Per le formule di addizione del coseno abbiamo che

[math] \cos (30+x) = \cos 30 \cos x - \sin 30 \sin x = \frac{\sqrt3}{2} \cos x - \frac12 \sin x [/math]

Pertanto

[math] BC=2r \( \frac{\sqrt3}{2} \cos x - \frac12 \sin x \) [/math]

LA relazione era

[math] AD+BC= \frac32AB+DC [/math]

ovvero

[math] AD+BC= \frac32(2r+r) = \frac32 \cdot 3r = 2r [/math]

pertanto

[math] \no{2r} \sin x + \no{2r} \( \frac{\sqrt3}{2} \cos x - \frac12 \sin x \) = \no{2r} [/math]

Ovvero

[math] \sin x + \frac{\sqrt3}{2} \cos x - \frac12 \sin x = 1 [/math]

da cui

[math] \frac12 \sin x + \frac{\sqrt3}{2} \cos x = 1 [/math]

Dal momento che

[math] \frac12 = \cos(60) \\ \\ \\ \frac{\sqrt3}{2} = \sin (60) [/math]

possiamo scrivere

[math] \cos (60) \sin x + \sin (60) \cos x = 1 [/math]

e ricordando le formule di addizione del seno, dunque

[math] \sin(60+x)=1 [/math]

1 e' il seno di 90, quindi

[math] \sin (60+x) = \sin (90) \to 60+x=90 \to x=30 [/math]

l'angolo AOD era 2x quindi sara' di 60 gradi.

Pertanto il poligono cercato e' un trapezio isoscele, diviso in tre triangoli equilateri congruenti (e di base minore = lati obliqui = r )