Salve aiuto nei sistemi simmetrici

[Gillette]

Salve mi servirebbe una mano a capire in modo semplice i sistemi simmetrici e riuscire a risolvere questo esercizio
{x+y = 7/2
{2xy = 3

[Ali Q]

Un sistema e' simmetrico se, scambiando fra loro le x e le y, il sistema non cambia. Sono dunque quei sistemi in cui compaiono addizioni e moltiplicazioni, che godono della proprietà commutativa.

Purtroppo non è possibile risolvere sistemi del genere con i metodi tradizioni (sostituzione, confronto, Cramer...) perchè non portano da nessuna parte. Occorre invece utilizzare un metodo specifico.

Vediamo allora come risolvere il sistema come quello che hai postato:
{x+y = 7/2
{2xy = 3 cioè xy = 3/2

Si procede in questo modo:
Chiamo:
X = x+y = 7/2
Y = xy = 3/2

Quindi, posso concludere:
X = 7/2
Y = 3/2

Consideriamo poi una equazione di secondo grado di questo tipo:
z^2 -Xz + Y = 0
z^2 -7/2z +3/2 = 0

Risolviamola come una qualunque equazione di secondo grado:
Delta = 49/4 -6 = 49/4 -24/4 = 25/4 = (5/2)^2
z = (7/2 +/- 5/2)/2

z = 3 oppure 1/2

Abbiamo trovato le soluzioni del sistema:
x = 3 o 1/2
y = 1/2 o 3

Ecco fatto, fine! Per esercizi più complessi credo che troverai utilissimo questo link:
http://www.ripmat.it/mate/a/ai/aice.html

Ciao!!!!

[Gillette]

Grazie per la risposta ma scusami l'ignoranza per nel primo passaggio mettiamo
xy=3/2 e togliamo il 2 davanti a 2xy ?

[sagrest]

# Ali Q :

{x+y = 7/2
{2xy = 3 cioè xy = 3/2

E' sottinteso:

[math]2xy=3 \\
\frac{2xy}{2}=\frac{3}{2}[/math]

Il risultato è quello postato dall'utente sopra.

[Ali Q]

L'equazione di secondo grado utilizzata per arrivare alla soluzione deve necessariamente avere i seguenti coefficienti:
X = x + y =....
Y = xy =.....

Ho pertanto diviso la seconda equazione per 2 in modo da avere nella prima equazione la pura e semplice addizione di x e y (x +y =....) e nella seconda la pura e semplice moltiplicazione (xy =.....)

[Gillette]

ok grazie ancora :D :D :D

Aggiunto 33 minuti più tardi:

Scusate se disturbo ancora purtroppo devo risolvere un altro sistema ho seguito tutto alla lettera come sta spiegato su rip mat ma non mi trovo quando vado a calcolare il delta ho visto che non sono sistemi simmetrici normali ma vengono chiamati "Sistemi riconducibili a simmetrici" chiedo scusa se vi disturbo ancora
Questo è il sistema
{4x^2+4y^2=101
{2x+2y=11

[Ali Q]

Be', in realtà il regolamento prevedrebbe che tu postassi un'altro topic per questa domanda.
Tuttavia, per questa volta, si può anche fare uno strappo alla regola.

Allora, vediamo di risolvere il sistema....
{4x^2+4y^2=101
{2x+2y=11

Mettiamo le due equazioni in questa forma:
{x^2+y^2=101/4
{x+y=11/2

Fatto questo, andiamo ad applicare la prima formula di Waring. Il sistema diventa:
{(x+y)^2 -2xy =101/4
{x+y=11/2

Sappiamo dalla seconda equazione che:
x + y = 11/2

La prima equazione diventa dunque:
(11/2)^2 -2xy = 101/4
121/4 -2xy = 101/4
-2xy = 101/4 -121/4
-2xy = -20/4
2xy = 5
xy = 5/2

Abbimao dunque ricondotto le due equazioni del sistema a questa forma:
x + y = 11/2
xy = 5/2

Risolviamo il sistema come nel caso precedente (anche se in realtà possiamo ottenere lo stesso risultato utilizzando anche il metodo della sostituzione):
X = x +y = 11/2
Y = xy = 5/2

z^2 -Xz + Y = 0
z^2 -11/2z +5/2 = 0

Delta = 121/4 - 10 = 121/4 -40/4 = 81/4 = (9/2)^2
z = (11/2 +/- 9/2)/2
z = 1/2 oppure 5

[Gillette]

Grazie ancora chiedo scusa se ho sbagliato a postare qui una solo domanda perchè qui abbiamo cambiato di segno ?

-2xy = -20/4
2xy = 5

[Ali Q]

Be', si tratta di una semplificazione dell'equazione.
Cambiando di segno a destra e a sinistra dell'uguale il risultato non cambia.
In questo modo ottengo una equazione più semplice.

[Gillette]

ok mi sei stata di grande aiuto grazie ancora