Sagra dei sistemi che non mi vengono :(

[HeadTrip1]

salve a tutti

sono agli ultimi esercizi di questo tipo e cen e' qualcuno che o non so' come continuare o non mi viene....comincio a postarne uno...se avete tempo di darci un'occhiata...

$\{((x+p)/(x+q)+(y+q)/(y+p)=2),(x-y=p-q):}$

tolgo i denominatori e rimane:

$\{(xy+xp+py+p^2+xy+qy+xq+q^2=2xy+2xp+2qy+2qp),(x-y=p-q):}$

$\{(-xp+xq=qy-py-p^2-q^2),(x-y=p-q):}$

$\{(x=(p^2+q^2+py-qy)/(p-q)),(x-y=p-q):}$

adesso potrei andare avanti in questo modo ma non so' se e' giusto:

$\{(x=(y(p-q)+p^2+q^2)/(p-q)),(x-y=p-q):}$

e rimarrebbe $\{(x=p^2+q^2+y),(x=p-q+y):}$

[giammaria2]

"HeadTrip":$\{(-xp+xq=qy-py-p^2-q^2),(x-y=p-q):}$

In fondo alla prima equazione hai dimenticato un $+2pq$. Aggiungendovelo, questa può essere scritta come $x(q-p)=y(q-p)-(q-p)^2$.

[HeadTrip1]

"giammaria":[quote="HeadTrip"]$\{(-xp+xq=qy-py-p^2-q^2),(x-y=p-q):}$

In fondo alla prima equazione hai dimenticato un $+2pq$. Aggiungendovelo, questa può essere scritta come $x(q-p)=y(q-p)-(q-p)^2$.[/quote]

hai ragione....e l'avro' fatta 10 volte sempre facendo lo stesso errore

io andrei avanti cosi':

$\{(-x+qx=y(q-p)-(q-p)^2),(x=p-q+y):}$

e poi :

$-p(p-q+y)+q(p-q+y)=y(q-p)-(q-p)^2$

$-p^2+pq-py+pq-q^2+qy=y(q-p)-(q-p)^2)$

$y(q-p)-(q-p)^2)=y(q-p)-(q-p)^2)$

non so' se pero' puo' considerarsi finita

[giammaria2]

Non è certo finita, perchè non dai una conclusione: puoi notare che hai ottenuto una identità (cioè i due membri sono uguali, qualunque sia il valore delle lettere) e quindi il sistema è indeterminato.
I calcoli di questo tuo ultimo intervento potevano essere molto abbreviati, e c'erano due modi possibili per farlo:
I modo) A primo membro sostituiamo la x ottenuta dalla seconda equazione e a secondo membro mettiamo in evidenza (q-p): otteniamo $(q-p)(p-q+y)=(q-p)(y-q+p)$. A parte il diverso ordine degli addendi, i due membri sono identici, quindi il sistema è indeterminato.
II modo) Se $p=q$ la prima equazione diventa $0=0$ e il sistema è indeterminato; se $p \ne q$ la prima equazione si semplifica dividendo per $q-p$ e l'equazione così ottenuta è identica alla seconda: anche in questo caso il sistema è indeterminato.

[HeadTrip1]

siccome ne ho altre simili

mettendo ipotesi di risolverla nella $x$ anziche' nella $y$ e quindi:

$\{(py+p^2-qy+q^2-2pq=xp-qx),(y=q-p+x):}$

otterrei $pq-p^2+px-q^2+pq-qx+(q-p)^2=(p-q)^2$

da cui $(q-p)^2-(q+p)^2+(p-q)x=(p-q)x$

l incognita sarebbe annullata ma rimarrebbe $(q-p)^2-(q+p)^2$

l equazione e' da considerarsi comunque annullata anche se rimangono dei parametri?

[Nicole931]

quando l'incognita si annulla, hai due possibilità : l'equazione ottenuta è indeterminata o impossibile
nel tuo caso, poichè avresti : $(q-p)^2=(q+p)^2$, e , passando all'uguaglianza tra le due basi:
$q-p=q+p -> 2p=0$ , quindi l'equazione è indeterminata se $p=0$, impossibile in caso contrario

[G.D.5]

Però da [tex](q-p)^{2}=(q+p)^{2}[/tex] discende anche [tex]q-p=-q-p[/tex].

[Nicole931]

giusto!
quindi le stesse ipotesi vanno fatte per la q (per non incorrere nell'errore era meglio sviluppare i due quadrati)

[giammaria2]

"HeadTrip": otterrei $pq-p^2+px-q^2+pq-qx+(q-p)^2=(p-q)^2$

da cui $(q-p)^2-(q+p)^2+(p-q)x=(p-q)x$

Nel primo di questi passaggi hai sbagliato nel digitare il secondo membro, che è $(p-q)x$ (confronta col passaggio precedente e col seguente); nel secondo c'è un errore di segno: poichè $-p^2-q^2+2pq=-(p^2+q^2-2pq)=-(q-p)^2$, il secondo passaggio va corretto in $(q-p)^2-(q-p)^2+(p-q)x=(p-q)x$.
Sia Nicole93 che Wizard si sono fidati della giustezza dei tuoi calcoli, ma se un sistema è indeterminato con un metodo di soluzione, lo è anche con qualsiasi altro metodo.