Ruffini ed equazioni
scusate,non ho ben chiaro il nesso che lega le soluzioni di una equazione di grado n e la scomposizione con ruffini del polinomio associato alla stessa equazioone,per quanto ho capito ruffini è in grado di trovare le soluzioni solo se esse sono numerii relativi o frazionali... è cosi??
vi prego aiutatemi!
vi prego aiutatemi!
Risposte
In genere si usa Ruffini quando si ha un polinomio a coefficienti interi (o razionali) di grado superiore al secondo di cui non si è in grado di trovare le soluzioni al volo (concedimi il termine).
In generale, se $p(x)$ è un polinomio di grado $n$ (a coefficienti non necessariamente interi) e $x_0$ è una radice, cioè $p(x_0) = 0$, allora esiste un polinomio $q(x)$ di grado $n-1$ tale che $p(x) = (x - x_0) q(x)$.
Il metodo di Ruffini sfrutta proprio questo fatto, ovvero parte da un polinomio $p(x)$, ne trova una radice (ovviamente se esiste una radice razionale), e tramite la divisione determina il polinomio $q(x)$ come sopra. In questo modo è stato possibile abbassare il grado di $p(x)$ e si può ripetere il procedimento su $q(x)$, fino a trovare tutte le radici del polinomio di partenza.
In generale, se $p(x)$ è un polinomio di grado $n$ (a coefficienti non necessariamente interi) e $x_0$ è una radice, cioè $p(x_0) = 0$, allora esiste un polinomio $q(x)$ di grado $n-1$ tale che $p(x) = (x - x_0) q(x)$.
Il metodo di Ruffini sfrutta proprio questo fatto, ovvero parte da un polinomio $p(x)$, ne trova una radice (ovviamente se esiste una radice razionale), e tramite la divisione determina il polinomio $q(x)$ come sopra. In questo modo è stato possibile abbassare il grado di $p(x)$ e si può ripetere il procedimento su $q(x)$, fino a trovare tutte le radici del polinomio di partenza.
quindi è vero che sia i coefficienti del polinomio sia le radici trovate appertengono per forza all'insieme dei numeri razionali?
ed è vero che quando si dice che un plinomio non è scomponibile ne con ruffini che con le altre tecniche non è detto ke l'equazione associata a quel polinomio non abbia soluzioni in R ?
ed è vero che quando si dice che un plinomio non è scomponibile ne con ruffini che con le altre tecniche non è detto ke l'equazione associata a quel polinomio non abbia soluzioni in R ?
Direi che si può usare Ruffini quando sia i coefficienti sia le radici appartengono all'insieme dei razionali (al limite, potrebbe anche bastare che il coefficiente di grado massimo e il temine noto siano interi o razionali).
In generale, con Ruffini, i candidati ad essere radici del polinomio si trovano considerando $\frac{"divisori del termine noto"}{"divisore del termine di grado massimo"}$. Se tu avessi un polinomio del tipo $p(x) := x^2 - \sqrt{3}$ non potresti neanche cominciare: chi mai sarebbero i divisori di $\sqrt{3}$? Se invece hai $p(x) := x^3 - \sqrt{3} x^2 + \sqrt{3} x - 1$, puoi calcolare $\frac{"divisori del termine noto"}{"divisore del termine di grado massimo"}$ e trovare che $1$ è una radice, in questo caso la divisione si potrebbe fare.
Se invece il polinomio non ha soluzioni razionali, con Ruffini non ci fai niente, prendi ad esempio il polinomio $p(x) := x^2 - 2$.
Quando un polinomio non è scomponibile né con Ruffini né con altre tecniche non è detto che non abbia soluzioni reali. Ad esempio, ogni polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha almeno una soluzione reale.
In generale, con Ruffini, i candidati ad essere radici del polinomio si trovano considerando $\frac{"divisori del termine noto"}{"divisore del termine di grado massimo"}$. Se tu avessi un polinomio del tipo $p(x) := x^2 - \sqrt{3}$ non potresti neanche cominciare: chi mai sarebbero i divisori di $\sqrt{3}$? Se invece hai $p(x) := x^3 - \sqrt{3} x^2 + \sqrt{3} x - 1$, puoi calcolare $\frac{"divisori del termine noto"}{"divisore del termine di grado massimo"}$ e trovare che $1$ è una radice, in questo caso la divisione si potrebbe fare.
Se invece il polinomio non ha soluzioni razionali, con Ruffini non ci fai niente, prendi ad esempio il polinomio $p(x) := x^2 - 2$.
Quando un polinomio non è scomponibile né con Ruffini né con altre tecniche non è detto che non abbia soluzioni reali. Ad esempio, ogni polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha almeno una soluzione reale.
grazie ora la cosa mi è più chiara,per favore non chiudete ancora questo topic magari tra qualche giorno potrei aver bisogno di chiedere qualcosa sullo stesso argomento
grazie
grazie
E perché mai dovremmo chiuderlo? 
rieccomi
perchè se questo polinomio di terzo grado x^3+bx^2+cx+d può essere scomposto con ruffini in questo modo(x+r) (x+p)(x+Q) p e q ed r devono essere per forza divisori interi di d?
ad esempio se d=3 perchè p e q possono assumere solo i valori +1 -1 +3 -3 e non anche +(2/3) -(2/3) +(9/2) -(9/2) ...?
con b ,c, d interi
corretto
perchè se questo polinomio di terzo grado x^3+bx^2+cx+d può essere scomposto con ruffini in questo modo(x+r) (x+p)(x+Q) p e q ed r devono essere per forza divisori interi di d?
ad esempio se d=3 perchè p e q possono assumere solo i valori +1 -1 +3 -3 e non anche +(2/3) -(2/3) +(9/2) -(9/2) ...?
con b ,c, d interi
corretto
"Marcel":
perchè se questo polinomio di terzo grado x^3+bx^2+cx+d può essere scomposto con ruffini in questo modo (x+p)(x+Q) p e
Deve esserci un errore: infatti il polinomio che tu scrivi è di 3° grado, mentre il prodotto di quelle due parentesi è un polinomio di 2° grado.
Non può essere la sua scomposizione.
Inoltre cosa sono $p,q$? Interi, razionali.. etc.
ho corretto il mio post precedente
comunque forse mi sono sopiegato poco chiaramente in realtà vorrei conoscere la dimostrazione del seguente
Criterio di Ruffini
Sia il polinomio P(x) a coefficienti interi; allora se esiste un valore razionale p/q che sostituito ad x annulla il polinomio sarà : p divisore del termine noto
q divisore del coefficiente del termine di grado massimo
In particolare se il termine di grado massimo ha coefficiente unitario il valore che annulla il polinomio sarà un numero intero divisore del termine noto.
comunque forse mi sono sopiegato poco chiaramente in realtà vorrei conoscere la dimostrazione del seguente
Criterio di Ruffini
Sia il polinomio P(x) a coefficienti interi; allora se esiste un valore razionale p/q che sostituito ad x annulla il polinomio sarà : p divisore del termine noto
q divisore del coefficiente del termine di grado massimo
In particolare se il termine di grado massimo ha coefficiente unitario il valore che annulla il polinomio sarà un numero intero divisore del termine noto.
grazie mile tipper è proprio quello che stavo cercando 
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