Rotazione di un cubo
Ciao a tutti, che figura solida si ottiene ruotando un cubo sulla sua diagonale? Io avrei pensato ad un cilindro sormontato da due coni.
Risposte
Di solito non si definisce cosa si intende per rotazione di un solido; interpreto il problema pensando al buco che, ruotando sulla diagonale, il cubo crea nel materiale che lo circonda.
In questo caso sono d'accordo con te. Ho chiamato ABCD una faccia e A'B'C'D' quella opposta; il lato è unitario e la rotazione è attorno ad AC'. I punti B, D, A' distano $1$ da A e $sqrt 2$ da C' quindi ruotano tutti su una stessa circonferenza; indicando con H il suo centro e ricordando che si ha $AC'=sqrt 3$, con la trigonometria calcolo facilmente $AH=1/sqrt 3$ e
$HB=sqrt(2/3)$. Discorso analogo per i punti C,B',D'.
In questo caso sono d'accordo con te. Ho chiamato ABCD una faccia e A'B'C'D' quella opposta; il lato è unitario e la rotazione è attorno ad AC'. I punti B, D, A' distano $1$ da A e $sqrt 2$ da C' quindi ruotano tutti su una stessa circonferenza; indicando con H il suo centro e ricordando che si ha $AC'=sqrt 3$, con la trigonometria calcolo facilmente $AH=1/sqrt 3$ e
$HB=sqrt(2/3)$. Discorso analogo per i punti C,B',D'.
Ripensandoci, devo correggermi. Il segmento BC (nonché il suo opposto A'D') ruota attorno ad una retta che gli è sghemba; i suoi estremi percorrono circonferenze uguali ma questo non succede per gli altri punti del segmento. Preso infatti su esso un punto P e posto BP=x, si ha
$AP=sqrt(AB^2+BP^2)=sqrt(1+x^2)$
$PC'=sqrt(PC^2+C C'^2)=sqrt((1-x)^2+1)=sqrt(2-2x+x^2)$
e, applicando Carnot al triangolo APC', con qualche passaggio ricavo
$cos P hat A C'=(1+x)/(sqrt(3(1+x^2)))$
Detta ora K la proiezione di P su AC', il raggio della circonferenza descritta da P è
$PK=AP sin P hat A C'=...=(2(1-x+x^2))/(sqrt 3)$
e quindi varia al variare del punto ed è minimo quando P è medio fra B e C. Il cilindro centrale va quindi sostituito da una specie di clessidra, più stretta al centro che agli estremi.
Non ho esaminato i due coni laterali ma credo che siano davvero coni, in quanto non ci sono problemi di sghembità (ammettendo l'esistenza di questo termine).
$AP=sqrt(AB^2+BP^2)=sqrt(1+x^2)$
$PC'=sqrt(PC^2+C C'^2)=sqrt((1-x)^2+1)=sqrt(2-2x+x^2)$
e, applicando Carnot al triangolo APC', con qualche passaggio ricavo
$cos P hat A C'=(1+x)/(sqrt(3(1+x^2)))$
Detta ora K la proiezione di P su AC', il raggio della circonferenza descritta da P è
$PK=AP sin P hat A C'=...=(2(1-x+x^2))/(sqrt 3)$
e quindi varia al variare del punto ed è minimo quando P è medio fra B e C. Il cilindro centrale va quindi sostituito da una specie di clessidra, più stretta al centro che agli estremi.
Non ho esaminato i due coni laterali ma credo che siano davvero coni, in quanto non ci sono problemi di sghembità (ammettendo l'esistenza di questo termine).
Ti ringrazio, non servivano formule comunque, era solo una curiosa domanda tra amici, che tra l'altro non sapevo dove mettere 
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