Rotazione asse x con centro nell'origine
Ciao a tutti !
Chiedo gentilmente l'aiuto di qualche anima pia per venire a capo di un assurdo al quale non riesco a dare spiegazione. Ho il seguente esercizio (tratto dal Bergamini-Trifone-Barozzi, matematica.blu 2.0 vol.4):
Un metodo di risoluzione che ho adottato (e che porta al risultato corretto), è quello di trovare l'angolo tra le rette; detta $r$ l'asse x e $r'$ la retta $y-sqrt(3)x=0$ si ha che $m_(r')=tg(theta)=sqrt(3)$, da cui si giunge al corretto angolo di rotazione $theta=60°$ e, quindi, alla trasformazione
Il mio problema è che, ragionando, invece, come in altri casi, andando a scrivere la generica rotazione
se vado a sostituire quest'ultima nella retta r ($y=0$) ottengo $-x'sen(theta)+y'cos(theta)=0$ e, dovendo essere quest'ultima retta coincidente con la retta $r':y-sqrt(3)x=0$, deve accadere che:
Idem se andassi a sostituire la trasformazione diretta nella retta r' per ottenere la retta r.
Sono sicuro di star tralasciando qualche banalità, ma non riesco proprio ad individuarla. Ringrazio sin da ora quanti sapranno chiarire questo mio dubbio e, come sempre,
saluti
Chiedo gentilmente l'aiuto di qualche anima pia per venire a capo di un assurdo al quale non riesco a dare spiegazione. Ho il seguente esercizio (tratto dal Bergamini-Trifone-Barozzi, matematica.blu 2.0 vol.4):
Scrivi le equazioni della rotazione che porta l’asse x a sovrapporsi alla retta di equazione $y-sqrt(3)x=0$
Un metodo di risoluzione che ho adottato (e che porta al risultato corretto), è quello di trovare l'angolo tra le rette; detta $r$ l'asse x e $r'$ la retta $y-sqrt(3)x=0$ si ha che $m_(r')=tg(theta)=sqrt(3)$, da cui si giunge al corretto angolo di rotazione $theta=60°$ e, quindi, alla trasformazione
${ ( x'=1/2x-sqrt(3)/2y ),( y'=sqrt(3)/2x+1/2y ):}$
Il mio problema è che, ragionando, invece, come in altri casi, andando a scrivere la generica rotazione
${ ( x'=xcos(theta)-ysen(theta) ),( y'=xsen(theta)+ycos(theta)):}$
da cui ricavare l'inversa${ ( x=x'cos(theta)+y'sen(theta) ),( y=-x'sen(theta)+y'cos(theta)):}$
se vado a sostituire quest'ultima nella retta r ($y=0$) ottengo $-x'sen(theta)+y'cos(theta)=0$ e, dovendo essere quest'ultima retta coincidente con la retta $r':y-sqrt(3)x=0$, deve accadere che:
${ ( sen(theta)=sqrt(3) ),( cos(theta)=1 ):}$
chiaramente assurdo !Idem se andassi a sostituire la trasformazione diretta nella retta r' per ottenere la retta r.
Sono sicuro di star tralasciando qualche banalità, ma non riesco proprio ad individuarla. Ringrazio sin da ora quanti sapranno chiarire questo mio dubbio e, come sempre,
saluti
Risposte
Onestamente non capisco cosa e' assurdo.
E' assurdo che $\sin\theta = \sqrt3 $ perche' e' maggiore di uno ?
Dividi sia il seno che il coseno a meta'... ovvero $\sin\theta = \sqrt3 /2$ e $\cos\theta = 1/2 $.
Cosi' ti torna ?
E' assurdo che $\sin\theta = \sqrt3 $ perche' e' maggiore di uno ?
Dividi sia il seno che il coseno a meta'... ovvero $\sin\theta = \sqrt3 /2$ e $\cos\theta = 1/2 $.
Cosi' ti torna ?
.
Innanzitutto ringrazio entrambi per le risposte. Tuttavia il mio dubbio permane.
@Quinzio: chi mi autorizza a dividere per 2 ? (Cosa che mi porterebbe, effettivamente, alla soluzione cercata)
@sellacollesella: il tuo ragionamento mi è chiaro. Io avevo proprio risolto l'esercizio trovando l'angolo tra le rette, che coincide con l'angolo della retta $y=sqrt(3)x$ con l'asse x, cioè $tg(theta)=sqrt(3)->theta=60°$ e così ho potuto trovare le equazioni della trasformazione.
La mia domanda è però il perché il metodo di applicare direttamente la trasformazione ad una delle due rette non mi restituisca l'altra retta. Mi spiego meglio con un altro esempio: supponiamo di avere la retta $r: 2x-3y+4=0$ e di voler ottenere la retta simmetrica secondo la simmetria di centro $P(2,3)$; l'equazione della simmetria è ${ ( x'=4-x ),( y'=6-y ):}$ da cui: ${ ( x=4-x' ),( y=6-y' ):}$ e, sostituendo $4-x'$ e $6-y'$ al posto rispettivamente di x e y nella retta r, si ottiene la sua simmetrica $r':2x-3y+6=0$. Qui tutto sembra funzionare. Nell'esercizio della rotazione, invece, sembra di no. Non capisco dove sia il problema che fa cadere in difetto questo metodo
Edit: mentre scrivevo il messaggio mi sono reso conto che tale metodo funziona anche per la rotazione se considero entrambe le rette in forma esplicita ($r:y=0$ e $r':y=sqrt(3)x$), cioè, applicando la rotazione inversa
alla retta $y=0$ otteniamo $-x'sen(theta)+y'cos(theta)=0$ che deve coincidere con $r':y-sqrt(3)x=0$. Ora, se lascio le rette in forma implicita, ottengo un sistema impossibile, se invece le confronto in forma esplicita ho che $-xsen(theta)+ycos(theta)=0->y=tg(theta)x$ e, dovendo questa coincidere con la retta $r':y=sqrt(3)x$, si avrà che $tg(theta)=sqrt(3)->theta=60°$. Da qui la mia domanda: perché con la retta in forma implicita non funziona ? Che sia per la possibilità di dividere tutti i coefficienti della retta in forma implicita per la stessa quantità senza quindi avere univocità ? Ma perché ? Che dipenda dal fatto che la retta asse x è una retta particolare (così come l'asse y) ? Non so se sono riuscito a spiegarmi e chiedo scusa se sono stato prolisso e confusionario.
@Quinzio: chi mi autorizza a dividere per 2 ? (Cosa che mi porterebbe, effettivamente, alla soluzione cercata)
@sellacollesella: il tuo ragionamento mi è chiaro. Io avevo proprio risolto l'esercizio trovando l'angolo tra le rette, che coincide con l'angolo della retta $y=sqrt(3)x$ con l'asse x, cioè $tg(theta)=sqrt(3)->theta=60°$ e così ho potuto trovare le equazioni della trasformazione.
La mia domanda è però il perché il metodo di applicare direttamente la trasformazione ad una delle due rette non mi restituisca l'altra retta. Mi spiego meglio con un altro esempio: supponiamo di avere la retta $r: 2x-3y+4=0$ e di voler ottenere la retta simmetrica secondo la simmetria di centro $P(2,3)$; l'equazione della simmetria è ${ ( x'=4-x ),( y'=6-y ):}$ da cui: ${ ( x=4-x' ),( y=6-y' ):}$ e, sostituendo $4-x'$ e $6-y'$ al posto rispettivamente di x e y nella retta r, si ottiene la sua simmetrica $r':2x-3y+6=0$. Qui tutto sembra funzionare. Nell'esercizio della rotazione, invece, sembra di no. Non capisco dove sia il problema che fa cadere in difetto questo metodo
Edit: mentre scrivevo il messaggio mi sono reso conto che tale metodo funziona anche per la rotazione se considero entrambe le rette in forma esplicita ($r:y=0$ e $r':y=sqrt(3)x$), cioè, applicando la rotazione inversa
${ ( x=x'cos(theta)+y'sen(theta) ),( y=-x'sen(theta)+y'cos(theta)):}$
alla retta $y=0$ otteniamo $-x'sen(theta)+y'cos(theta)=0$ che deve coincidere con $r':y-sqrt(3)x=0$. Ora, se lascio le rette in forma implicita, ottengo un sistema impossibile, se invece le confronto in forma esplicita ho che $-xsen(theta)+ycos(theta)=0->y=tg(theta)x$ e, dovendo questa coincidere con la retta $r':y=sqrt(3)x$, si avrà che $tg(theta)=sqrt(3)->theta=60°$. Da qui la mia domanda: perché con la retta in forma implicita non funziona ? Che sia per la possibilità di dividere tutti i coefficienti della retta in forma implicita per la stessa quantità senza quindi avere univocità ? Ma perché ? Che dipenda dal fatto che la retta asse x è una retta particolare (così come l'asse y) ? Non so se sono riuscito a spiegarmi e chiedo scusa se sono stato prolisso e confusionario.
"BayMax":
Tuttavia il mio dubbio permane.
@Quinzio: chi mi autorizza a dividere per 2 ? (Cosa che mi porterebbe, effettivamente, alla soluzione cercata)
Quando determini una retta $ax+by = 0 $ quello che conta in realta' e' il rapporto $a/b$ (oppure $b/a$).
Quindi ogni coppia di numeri $ka, kb$ con $k \ne 0$ qualsiasi va bene.
$y+x=0$
$10y+10x=0$
$1.11y+1.11x=0$
sono tutte la stessa retta.
Nel tuo problema, deve sempre valere $\sin^2 \theta +\cos^2 \theta = 1$.
Se hai una coppia di numeri $a, b$ e li vuoi "far diventare" un seno e un coseno, devi normalizzarli cosi':
$a/\sqrt(a^2+b^2), b/\sqrt(a^2+b^2)$
Questa trasformazione si chiama "normalizzazione" perche' produce un vettore di lunghezza 1.
Ciao di nuovo @Quinzio e grazie ancora per la risposta (ed ovviamente grazie ancora anche @sellacollesella). @Quinzio credo sia chiaro ora. Infatti, non avendo notato che stavi rispondendo, ho aggiunto un edit al mio ultimo messaggio dicendo che se lascio la retta in forma esplicita, anziché implicita, il metodo funziona. Da quel che dici tu, mi pare di capire che funziona proprio perché nella retta in forma esplicita, anziché implicita, ho proprio il rapporto $a/b$. Quindi la scrittura della retta in forma esplicita anziché implicita fa essa stessa da normalizzazione, dico bene ? Inoltre, in presenza di una retta completa di termine noto ($ax+by+c=0$) questo problema non si verifica (cioè posso lasciare la retta anche in forma implicita e non obbligatoriamente riportarla in forma esplicita) oppure permane ?
Ok, credo di aver capito qual e' il tuo dubbio.
Hai la retta
$y = 0$
Applicando la rotazione, vorresti trovare la retta
$y-\sqrt3 \ x = 0$
e invece ti ritrovi con la retta
$y/2-\sqrt3 / 2 \ x = 0$.
E questo non ti torna. In realta' come abbiamo visto, le due rette sono uguali.
Il motivo per cui accade questa 'confusione' e' che la rotazione mantiene inalterata la lunghezza del vettore $(a,b)$, dove la lunghezza e' $\sqrt(a^2+b^2)$.
Nel caso della retta $y=0$ hai $(a,b) = (0,1)$ e quindi la lunghezza e' 1.
(Ricorda che l'equazione generica e' $ax+by = 0$)
In $y-\sqrt3 \ x = 0$ hai che $(a,b) = (-\sqrt3, 1)$ e quindi la lunghezza e' 2.
Invece la rotazione ti produce un'equazione dove $(a,b) = (-\sqrt3 /2, 1/2)$, siccome mantiene inalterata la lunghezza.
Hai la retta
$y = 0$
Applicando la rotazione, vorresti trovare la retta
$y-\sqrt3 \ x = 0$
e invece ti ritrovi con la retta
$y/2-\sqrt3 / 2 \ x = 0$.
E questo non ti torna. In realta' come abbiamo visto, le due rette sono uguali.
Il motivo per cui accade questa 'confusione' e' che la rotazione mantiene inalterata la lunghezza del vettore $(a,b)$, dove la lunghezza e' $\sqrt(a^2+b^2)$.
Nel caso della retta $y=0$ hai $(a,b) = (0,1)$ e quindi la lunghezza e' 1.
(Ricorda che l'equazione generica e' $ax+by = 0$)
In $y-\sqrt3 \ x = 0$ hai che $(a,b) = (-\sqrt3, 1)$ e quindi la lunghezza e' 2.
Invece la rotazione ti produce un'equazione dove $(a,b) = (-\sqrt3 /2, 1/2)$, siccome mantiene inalterata la lunghezza.
.
"BayMax":
Ciao di nuovo @Quinzio e grazie ancora per la risposta (ed ovviamente grazie ancora anche @sellacollesella). @Quinzio credo sia chiaro ora. Infatti, non avendo notato che stavi rispondendo, ho aggiunto un edit al mio ultimo messaggio dicendo che se lascio la retta in forma esplicita, anziché implicita, il metodo funziona. Da quel che dici tu, mi pare di capire che funziona proprio perché nella retta in forma esplicita, anziché implicita, ho proprio il rapporto $a/b$. Quindi la scrittura della retta in forma esplicita anziché implicita fa essa stessa da normalizzazione, dico bene ? Inoltre, in presenza di una retta completa di termine noto ($ax+by+c=0$) questo problema non si verifica (cioè posso lasciare la retta anche in forma implicita e non obbligatoriamente riportarla in forma esplicita) oppure permane ?
Si, il problema rimane.
Se hai una retta $ax+by+c=0$, allora la retta non passa per l'origine.
Le rotazioni funzionano ancora, e in questo caso la rotazione ti mantiene inalterata la distanza della retta dall'origine che si calcola cosi':
$d = |c/\sqrt(a^2+b^2)|$.
Quindi puoi fare tutte le rotazioni che vuoi anche con rette che non passano per l'origine, ma fai attenzione che la rotazione ti mantiene inalterata la distanza $d$. La distanza $d$ si chiama invariante della trasformazione, della rotazione in questo caso,appunto perche' rimane inalterata.
Tieni anche presente che anche in questo caso l'equazione di una retta non e' univoca, ma tutte le rette
$kax+kby+kc=0$ con $k \ne 0$ sono la stessa retta.
Anche in questo caso l'equazione si potrebbe normalizzare come
$a/\sqrt(a^2+b^2)x+b/\sqrt(a^2+b^2)y+c/\sqrt(a^2+b^2)=0$
Quindi equazioni apparentemente diverse possono rappresentare la stessa retta.
Ti faccio una domanda bonus, cosi' vedi se hai capito: prima parlavi di riflessioni di una retta attorno a un punto.
In questo caso qual e' l'invariante della trasformazione?
Non devi fare calcoli, fai un ragionamento 'grafico', mentale.
Nel caso della rotazione l'invariante e' la distanza della retta dall'origine, per la riflessione attorno a un punto, l'invariante e' ... ?
Grazie mille @Quinzio ! Ora è sicuramente più chiaro. Nel caso della riflessione (simmetria centrale di centro $C(x_C,y_C)$) mi pare che l'invariante sia la distanza dal centro di simmetria $C(x_C,y_C)$, dico bene ? Nell'esempio delle due rette simmetriche rispetto ad un punto resta inalterata la distanza punto-retta, così come per due punti simmetrici tra loro rispetto ad un terzo punto resta invariata la distanza punto-centro di simetria (il quale, tra l'altro, risulta punto medio del segmento avente per estremi il punto iniziale e la sua immagine per mezzo della simmetria centrale)
"BayMax":
Grazie mille @Quinzio ! Ora è sicuramente più chiaro. Nel caso della riflessione (simmetria centrale di centro $C(x_C,y_C)$) mi pare che l'invariante sia la distanza dal centro di simmetria $C(x_C,y_C)$, dico bene ? Nell'esempio delle due rette simmetriche rispetto ad un punto resta inalterata la distanza punto-retta, così come per due punti simmetrici tra loro rispetto ad un terzo punto resta invariata la distanza punto-centro di simmetria (il quale, tra l'altro, risulta punto medio del segmento avente per estremi il punto iniziale e la sua immagine per mezzo della simmetria centrale)
Si certo.
La riflessione mantiene anche inalterata la pendenza della retta, ovvero il solito rapporto $a/b$.
Perfetto. Grazie ancora !
Scusate se mi intrometto non avendo seguito il thread... [ot]Ma è stato già detto che, per l'interpretazione goniometrica del coefficiente angolare, l'asse $x$ deve ruotare di:
$theta = arctan m = arctan sqrt(3) = pi/3$
per sovrapporsi alla retta asssegnata?
Nel caso, ingorate pure questo mio ot.[/ot]
$theta = arctan m = arctan sqrt(3) = pi/3$
per sovrapporsi alla retta asssegnata?
Nel caso, ingorate pure questo mio ot.[/ot]
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