Rombo,circonferenza,rettangolo
Salve,
Ho un rettangolo del quale conosco i lati (43,2 e 57,6) circoscritto da una circonferenza. Traccio poi le tangenti alla circonferenza negli angoli del rettangolo, ottenendo un rombo. Come trovo l'area del rombo ? Non rieesco a trovare la relazione tra i lati del rettangolo inscritto e le diagonali del rombo, avendo individuato i triangoli simili che ne risultano.
Grazie in anticipo a chi mi da una mano!
Ho un rettangolo del quale conosco i lati (43,2 e 57,6) circoscritto da una circonferenza. Traccio poi le tangenti alla circonferenza negli angoli del rettangolo, ottenendo un rombo. Come trovo l'area del rombo ? Non rieesco a trovare la relazione tra i lati del rettangolo inscritto e le diagonali del rombo, avendo individuato i triangoli simili che ne risultano.
Grazie in anticipo a chi mi da una mano!
Risposte
Allora,
ipotizza (per comodità) che il rettangolo sia centrato nell'origine degli assi....la circonferenza che lo circoscrive avrà raggio pari alla mezza diagonale del rettangolo, quindi:
$sqrt((57,6)^2+(43,2)^2)/2=36$
l'equazione della circonferenza, anch'essa centrata nell'origine sarà:
$y^2+x^2=1296$
consideriamo la semicirconferenza (tanto l'asse $x$ è di simmetria), quindi:
$y=sqrt(1296-x^2)$
e calcoliamone la derivata prima in $x=28,8$ (sarebbe il mezzo lato del rettangolo, ci serve solo mezzo lato perchè è centrato nell'origine), otteniamo:
$y'=-x/sqrt(1296-x^2)=(-28,8)/(21,6)=$$-1,$$3333\bar$
A questo punto cerchiamo le intersezioni che avrà la retta tangente con gli assi cartesiani:
$(y-21,6)=$$-1,$$3333\bar$$(x-28,8)$
ponendo prima $y=0$ e poi $x=0$, abbiamo:
$P_1(45,0)$ e $P_2(0,60)$
grazie a questi due punti ci calcoliamo le diagonali del rombo (che sono poste sugli assi cartesiani), quindi:
$d=2*45=90$ (diagonale minore)
$D=2*60=120$ (diagonale maggiore)
L'area del rombo sarà:
$A=(d*D)/2=(90*120)/2=5400$
ipotizza (per comodità) che il rettangolo sia centrato nell'origine degli assi....la circonferenza che lo circoscrive avrà raggio pari alla mezza diagonale del rettangolo, quindi:
$sqrt((57,6)^2+(43,2)^2)/2=36$
l'equazione della circonferenza, anch'essa centrata nell'origine sarà:
$y^2+x^2=1296$
consideriamo la semicirconferenza (tanto l'asse $x$ è di simmetria), quindi:
$y=sqrt(1296-x^2)$
e calcoliamone la derivata prima in $x=28,8$ (sarebbe il mezzo lato del rettangolo, ci serve solo mezzo lato perchè è centrato nell'origine), otteniamo:
$y'=-x/sqrt(1296-x^2)=(-28,8)/(21,6)=$$-1,$$3333\bar$
A questo punto cerchiamo le intersezioni che avrà la retta tangente con gli assi cartesiani:
$(y-21,6)=$$-1,$$3333\bar$$(x-28,8)$
ponendo prima $y=0$ e poi $x=0$, abbiamo:
$P_1(45,0)$ e $P_2(0,60)$
grazie a questi due punti ci calcoliamo le diagonali del rombo (che sono poste sugli assi cartesiani), quindi:
$d=2*45=90$ (diagonale minore)
$D=2*60=120$ (diagonale maggiore)
L'area del rombo sarà:
$A=(d*D)/2=(90*120)/2=5400$
grazie per la risposta, sei stato molto gentile;
Secondo te si può risolvere con Talete e i criteri di similitudine, senza usare la derivata e l'equazione del cerchio ?
Perchè questo esercizio è sul testo di II, quando le derivate non sono ancora trattate...
Secondo te si può risolvere con Talete e i criteri di similitudine, senza usare la derivata e l'equazione del cerchio ?
Perchè questo esercizio è sul testo di II, quando le derivate non sono ancora trattate...
Per "Ellihca", ho provveduto a spostare il topic nella sezione "Secondaria II grado", la sezione su cui avevi inizialmente postato (Geometria e Algebra lineare) è una sezione universitaria.
c'è da considerare che le tangenti sono perpendicolari ai raggi ... e dunque alle diagonali del rettangolo.
se chiami O il centro del cerchio, ABCD il rettangolo ed EFGH il rombo, con F intersezione tra le tangenti in B e C, G intersezione tra le tangenti in C e D, il triangolo rettangolo OFG è costituito da due triangoli rettangoli, OFC e OCG, con OC altezza relativa all'ipotenusa di OFG ma anche cateto comune ad entrambi gli altri triangoli, le cui altezze relative alle ipotenuse sono le metà dei lati del rettangolo, che conosci.
dunque con il primo o con il secondo teorema di Euclide ti ricavi facilmente OF e OG.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
se chiami O il centro del cerchio, ABCD il rettangolo ed EFGH il rombo, con F intersezione tra le tangenti in B e C, G intersezione tra le tangenti in C e D, il triangolo rettangolo OFG è costituito da due triangoli rettangoli, OFC e OCG, con OC altezza relativa all'ipotenusa di OFG ma anche cateto comune ad entrambi gli altri triangoli, le cui altezze relative alle ipotenuse sono le metà dei lati del rettangolo, che conosci.
dunque con il primo o con il secondo teorema di Euclide ti ricavi facilmente OF e OG.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
Grazie, sei stata molto chiara e gentile;
Mi sfuggiva la "particolarità" del triangolo rettangolo la cui altezza rispetto a un cateto era il raggio del cerchio e l'altezza rispetto all'ipotenusa metà del lato inferiore del rettangolo...
Grazie ancora e buon week-end
Mi sfuggiva la "particolarità" del triangolo rettangolo la cui altezza rispetto a un cateto era il raggio del cerchio e l'altezza rispetto all'ipotenusa metà del lato inferiore del rettangolo...
Grazie ancora e buon week-end
prego, e buon week-end anche a te!
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