Risultati quesiti e problemi del prof. Pieragalli
E' possibile sapere i risultati dei problemi e dei quesiti proposti dal prof. Pieragalli nella sezione "temi svolti - esami di Stato" ? Grazie in ogni caso.
Risposte
Perché non provi a riproporre qui qualche problema su cui sei particolarmente incerto?
Grazie per il prof., ma io professore non sono!!
Non sono nemmeno laureato in matematica...
Poi, segui il consiglio di DavidHilbert, vedrai che qualcuno te li risolverà.
Se qualcuno trovasse qualche errore è pregato di segnalarmelo...
Non sono nemmeno laureato in matematica...
Poi, segui il consiglio di DavidHilbert, vedrai che qualcuno te li risolverà.
Se qualcuno trovasse qualche errore è pregato di segnalarmelo...
Mi scuso per il titolo che non c'è, ma va bene lo stesso.
Ho risolto la prima proposta per intero e qualcosa dell'altra e ho qualche dubbio sui quesiti che ora vi porrò:
1)In un trapezio ABCD la base maggiore AB=(4+sqrt3)l forma un angolo di 60° con il lato AD che è pari a 2lsqrt3 e uno di 45° con quello BC.Sapendo che DC viene "l" e sen ABD viene 3/5 (mi vengono), si congiunga un punto P di AD con B e con C. Posto l'angolo ABP=x, calcolare il limite per x che tende all'angolo ABD di : area PCD/(PB-BD). A me viene zero(?).
2) Quanti numeri di 6 cifre tutte distinte si possono ottenere con 1,2,3,4,5,6,7,8,9 con le cifre in ordine crescente?
3) Come si calcola l'integrale di: seno di (x al quadrato) in dx?
4)Quante parole di sei lettere anche prive di significato ed aventi tutte le lettere distinte e con solo consonanti ai primi quattro posti si possono formare con le prime sei lettere dell'alfabeto?
5) Numero e segno delle radici di : x al cubo-3*x-k=0 al variare di "k" reale.
6) Natura dei punti di discontinuità di : y=(x al cubo +a*x+2*x+3*a)/(x-1) al variare di "a" reale.
Sono tutti fattibili ma voglio proporveli per vedere se li ho risolti correttamente. Se serve, più in là, ve ne proporrò altri(maleditemi pure). Grazie e buon divertimento anche se l'esame di Stato sta per arrivare.
Ho risolto la prima proposta per intero e qualcosa dell'altra e ho qualche dubbio sui quesiti che ora vi porrò:
1)In un trapezio ABCD la base maggiore AB=(4+sqrt3)l forma un angolo di 60° con il lato AD che è pari a 2lsqrt3 e uno di 45° con quello BC.Sapendo che DC viene "l" e sen ABD viene 3/5 (mi vengono), si congiunga un punto P di AD con B e con C. Posto l'angolo ABP=x, calcolare il limite per x che tende all'angolo ABD di : area PCD/(PB-BD). A me viene zero(?).
2) Quanti numeri di 6 cifre tutte distinte si possono ottenere con 1,2,3,4,5,6,7,8,9 con le cifre in ordine crescente?
3) Come si calcola l'integrale di: seno di (x al quadrato) in dx?
4)Quante parole di sei lettere anche prive di significato ed aventi tutte le lettere distinte e con solo consonanti ai primi quattro posti si possono formare con le prime sei lettere dell'alfabeto?
5) Numero e segno delle radici di : x al cubo-3*x-k=0 al variare di "k" reale.
6) Natura dei punti di discontinuità di : y=(x al cubo +a*x+2*x+3*a)/(x-1) al variare di "a" reale.
Sono tutti fattibili ma voglio proporveli per vedere se li ho risolti correttamente. Se serve, più in là, ve ne proporrò altri(maleditemi pure). Grazie e buon divertimento anche se l'esame di Stato sta per arrivare.
"PILLOS":
3) Come si calcola l'integrale di: seno di (x al quadrato) in dx?
Gli altri sono noiosi, questo mi incuriosisce. Intendi $\int \sin(x^2) dx$, per caso? Se così, dubito la risposta sia alla portata di un liceale...
"DavidHilbert":
[quote="PILLOS"]3) Come si calcola l'integrale di: seno di (x al quadrato) in dx?
Gli altri sono noiosi, questo mi incuriosisce. Intendi $\int \sin(x^2) dx$, per caso? Se così, dubito la risposta sia alla portata di un liceale...[/quote]
Sbaglio o e' un integrale di Fresnel?!? Dubito che sia programma del liceo...
"PILLOS":
5) Numero e segno delle radici di : x al cubo-3*x-k=0 al variare di "k" reale.
La domanda è mal posta: non si può chiedere di indicare il segno delle radici, quando a priori le radici potrebbero non aver segno, dacché complesse. Poi suppongo che per "numero" si intenda il "numero delle radici distinte". Altrimenti è noto (teorema fondamentale dell'algebra) che, se $P \in \mathbb{C}[x]$ ha grado $n \ge 1$, allora l'equazione $P(x) = 0$ possiede esattamente $n$ radici complesse, se ciascuna è contata con la relativa molteplicità. O forse s'intende il numero delle sole radici reali? In tal caso il problema sì che diverrebbe interessante...
"david_e":
Sbaglio o e' un integrale di Fresnel?!?
Non sbagli.
"PILLOS":
6) Natura dei punti di discontinuità di $y=\frac{x^3 +ax+2x+3a}{x-1}$ al variare di "a" reale.
Se $1^3 + a + 2 + 3a \ne 0$, i.e. se $a \ne - 3/4$, allora la funzione presenta una discontinuità di II specie nel punto $x_0 = 1$; viceversa è prolungabile per continuità nello stesso punto (e.g. vi presenta una discontinuità di III specie o eliminabile) se $a = -3/4$. Altrove la funzione è sempre definita e continua.
I quesiti proposti non sono noiosi ma semplicemente adeguati al livello
di studi seguiti da pillos.
Propongo la soluzione del 5°,osservando che in sostanza si tratta di intersecare
la cubica $y=x^3-3x$ con il fascio di rette y=k (formato ovviamente da rette
parallele all'asse x).Rappresentando la cubica nel piano cartesiano e facendo
variare k si possono ottenere le soluzioni (reali) richieste ed il loro segno semplicemente
osservando quante sono le intersezioni della cubica con le rette y=k e la loro posizione rispetto all'origine O.
Archimede
"archimede":
I quesiti proposti non sono noiosi ma semplicemente adeguati al livello
di studi seguiti da pillos.
Su, su, non intendevo dire che lo sono in assoluto: annoiano ME, punto e basta!
1) Non mi sembra che venga zero (magari posta il procedimento), la verità è che avendolo inventato non sempre mi sono messo a fare tutti i calcoli...
2) 84
3) l'esercizio non chiede di calcolare l'integrale (questo è impossibile nell'ambito delle funzioni elementari) ma di stabilire se la funzione integrale è pari o dispari...
4) 48
2) 84
3) l'esercizio non chiede di calcolare l'integrale (questo è impossibile nell'ambito delle funzioni elementari) ma di stabilire se la funzione integrale è pari o dispari...
4) 48
"Piera":
3) l'esercizio non chiede di calcolare l'integrale (questo è impossibile nell'ambito delle funzioni elementari) ma di stabilire se la funzione integrale è pari o dispari...
Già, dici bene! Dunque, parità/disparità... Per ogni $x \in \mathbb{R}$, sia $F(x) := \int_0^x sin(t^2) dt$. Allora per sostituzione, qualunque sia $x \in \mathbb{R}$: $F(-x) = \int_0^{-x} sin(t^2) dt = \int_0^x sin((-u)^2) d(-u) = -\int_0^x sin(u^2) du = -F(x)$. Perciò ogni primitiva della funzione $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \rightarrow sin(x^2)$ è dispari. Ah, btw... Chi ci prova che l'integrale indefinito $\int sin(x^2) dx$ non è elementarmente calcolabile, e.g. che la sua funzione integrale non è una funzione elementare dell'analisi?
Se non ricordo male, Luca Lussardi, in un vecchio topic ha detto che dimostrare queste cose è estremamente complicato, lui stesso non aveva del tutto assimilato la dimostrazione.
Mi sembra che Luca ci avesse segnalato un articolo degli anni 60' , dedicato appunto a questo argomento, però adesso non ricordo il titolo e l'autore...
Mi sembra che Luca ci avesse segnalato un articolo degli anni 60' , dedicato appunto a questo argomento, però adesso non ricordo il titolo e l'autore...
"Piera":
Se non ricordo male, Luca Lussardi, in un vecchio topic ha detto che dimostrare queste cose è estremamente complicato
Lo è senza alcun dubbio!
"Piera":
Mi sembra che Luca ci avesse segnalato un articolo degli anni 60' , dedicato appunto a questo argomento, però adesso non ricordo il titolo e l'autore...
Non conosco l'articolo, ma in compenso... Ho qualche diffusa nozione di analisi complessa che fa giusto al caso!
@DavidHilbert
Se non ti secca ,posta la soluzione (o e' molto lunga?) .Mi piacerebbe
leggerla ,purche' non sia troppo infiorettata di quel formalismo che sembra
andar tanto di moda e che,diciamocela tutta,spesso oscura inutilmente la
sostanza.
Archimede
Se non ti secca ,posta la soluzione (o e' molto lunga?) .Mi piacerebbe
leggerla ,purche' non sia troppo infiorettata di quel formalismo che sembra
andar tanto di moda e che,diciamocela tutta,spesso oscura inutilmente la
sostanza.
Archimede
"archimede":
@DavidHilbert
Se non ti secca , posta la soluzione (o e' molto lunga?) .Mi piacerebbe
leggerla ,purche' non sia troppo infiorettata di quel formalismo che sembra
andar tanto di moda e che, diciamocela tutta, spesso oscura inutilmente la
sostanza.
Non hai tutti i torti, archimede, l'estremo formalismo ha il difetto di rendere talvolta - sia chiaro! - la faccenda più complicata di quanto necessario. Però è anche vero che la matematica non sono chiacchiere da bar. Per quel che riguarda il problema di cui mi chiedi, mi limito soltanto a dire che la dimostrazione del risultato principale passa per un noto teorema di Liouville che già altrove ho nominato, e che adesso qui vo' ad enunciare:
Teorema di Liouville: se $f, g: \mathbb{C}(x)$ e l'integrale $\int e^{f(x)} g(x) dx$ è calcolabile elementarmente, allora esiste $G \in \mathbb{C}(x)$ tale che, identicamente nel dominio: $\frac{d}{dx}(e^{f(x)} G(x)) = e^{f(x)} g(x)$.
Orbene, dalle formule di Eulero, qualunque sia $x \in \mathbb{R}$: $sin(x^2) = \frac{e^{ix^2} - e^{-ix^2}}{2i}$. Sicché l'elementare integrabilità della funzione $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \rightarrow sin(x^2)$ è in qualche modo riportata (il passaggio cruciale sta proprio qui!) alla medesima condizione per la funzione $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}: x \rightarrow e^{ix^2}$. Senonché a quest'ultima si applica il teorema di Liouville, per provarne molto semplicemente la non elementare integrabilità.
Ok,sei stato chiarissimo.
Grazie.
Archimede
Grazie.
Archimede
Per Pieragalli:
1) Allora sicuramente ho toppato mostruosamente qualcosa, in effetti non ero profondamente convinta di quello che avevo fatto riguardo il quesito 1) del trapezio(ho 2 variabili nel limite). Comunque io ho ragionato così:
Chiamando "y" il segmento AP, l'area del triangolo PCD è 1/2*(2lsqrt3-y)lsqrt3/2 , ho ricavato PB dal teorema dei seni applicato al triangolo APB : y/sin x=PB/sqrt3/2 , e BD dal teorema di Carnot applicato al triangolo ABD e mi è venuto 5l (conosco AB , AD e l'angolo in A =60°).
Facendo il limite richiesto, osservo che quando x tende all'angolo ABD, esso tende all'angolo (120-quello in ABD) dove di quello in ABD conosco il seno(3/5)(stesso angolo con cui ho calcolato l'area di PCD), e y tende ad AD=2lsqrt3, e così mi viene zero.
Puoi farmi gentilmente vedere la tua risoluzione dato che sto un po' impazzendo, e possibilmente anche quella dei quesiti 2 e 4 che ho proposto, quelli dei numeri di 6 cifre e delle parole di 6 lettere, visto che non mi escono così ? Grazie.
P.S. Avevo posto il problema dell'integrale di sin (x^2) in dx e non il quesito reale che chiedeva la parità o disparità della funzione integrale perchè quest'ultimo, grazie a Dio, l'avevo saputo fare, ma non sapevo come si potesse risolvere, per curiosità, l'integrale. Grazie per le risposte e sempre buon divertimento con la matematica.
1) Allora sicuramente ho toppato mostruosamente qualcosa, in effetti non ero profondamente convinta di quello che avevo fatto riguardo il quesito 1) del trapezio(ho 2 variabili nel limite). Comunque io ho ragionato così:
Chiamando "y" il segmento AP, l'area del triangolo PCD è 1/2*(2lsqrt3-y)lsqrt3/2 , ho ricavato PB dal teorema dei seni applicato al triangolo APB : y/sin x=PB/sqrt3/2 , e BD dal teorema di Carnot applicato al triangolo ABD e mi è venuto 5l (conosco AB , AD e l'angolo in A =60°).
Facendo il limite richiesto, osservo che quando x tende all'angolo ABD, esso tende all'angolo (120-quello in ABD) dove di quello in ABD conosco il seno(3/5)(stesso angolo con cui ho calcolato l'area di PCD), e y tende ad AD=2lsqrt3, e così mi viene zero.
Puoi farmi gentilmente vedere la tua risoluzione dato che sto un po' impazzendo, e possibilmente anche quella dei quesiti 2 e 4 che ho proposto, quelli dei numeri di 6 cifre e delle parole di 6 lettere, visto che non mi escono così ? Grazie.
P.S. Avevo posto il problema dell'integrale di sin (x^2) in dx e non il quesito reale che chiedeva la parità o disparità della funzione integrale perchè quest'ultimo, grazie a Dio, l'avevo saputo fare, ma non sapevo come si potesse risolvere, per curiosità, l'integrale. Grazie per le risposte e sempre buon divertimento con la matematica.
Non uso Mathml perché non lo posso istallare, con sqrt(3) indico la radice quadrata di 3.
1) Devi esprimere il rapporto solo in funzione di x.
BD = 5L
Dal teorema dei seni applicato sul triangolo ABP si ha
PB : sen 60° = AB : sen(120 – x)
PB = [4+sqrt(3)]L*sqrt(3)/[ 2 sen (120-x) ]
PB- BD = …= ( [4+sqrt(3)]L*sqrt(3) – 5Lsqrt(3) cos x -5Lsen x )/[2 sen(120-x)]
Analogamente si ha
AP = (4+sqrt(3))L* sen x / [sen (120-x)]
PD = AD – AP = …=[ 3L cos x – 4L sen x]/[ sen(120 –x)]
Area(PCD) =PD * DC sen(120°) / 2
Il rapporto Area(PCD)/(PB - BD) può essere scritto dopo opportune semplificazioni
[DC*sen (120°) ]*(3cos x – 4sen x) / ([4+sqrt(3)]*sqrt(3) – 5sqrt(3) cos x -5sen x )
Calcoliamo il limite di
(3 cos x – 4 sen x) / ([4+sqrt(3)]*sqrt(3) – 5sqrt(3) cos x -5sen x ) ,
applicando Hopital si ottiene come risultato
-5 /(3sqrt(3)-4)
moltiplicando questo valore per DC *sen(120°) che è uguale a L* sqrt(3)/2 si ottiene
-5 L sqrt(3)/[6sqrt(3)-8]
salvo errori
2) Con C(9,6) indico le combinazioni semplici dei 9 numeri presi a 6 a 6 , cioè tutti i possibili gruppi che si possono formare prendendo 6 dei 9 numeri .
Ad esempio, possiamo considerare il gruppo
5, 8, 3, 1, 9, 2
scrivendo le cifre in ordine crescente otteniamo il numero 123589 e viceversa.
Quindi ad ogni gruppo di 6 numeri gli possiamo associare un numero con le cifre in ordine crescente e viceversa.
Questo significa che C(9,6) = 84 sono i numeri aventi le cifre in ordine crescente.
4) le prime 4 lettere possono essere scelte in 4! = 24 modi (sono permutazioni semplici), le ultime due lettere possono essere scelte in 2 modi (AE oppure EA), in totale si hanno
24 * 2 = 48 parole
[size=150]Se qualcosa non ti torna chiedi pure.[/size]
1) Devi esprimere il rapporto solo in funzione di x.
BD = 5L
Dal teorema dei seni applicato sul triangolo ABP si ha
PB : sen 60° = AB : sen(120 – x)
PB = [4+sqrt(3)]L*sqrt(3)/[ 2 sen (120-x) ]
PB- BD = …= ( [4+sqrt(3)]L*sqrt(3) – 5Lsqrt(3) cos x -5Lsen x )/[2 sen(120-x)]
Analogamente si ha
AP = (4+sqrt(3))L* sen x / [sen (120-x)]
PD = AD – AP = …=[ 3L cos x – 4L sen x]/[ sen(120 –x)]
Area(PCD) =PD * DC sen(120°) / 2
Il rapporto Area(PCD)/(PB - BD) può essere scritto dopo opportune semplificazioni
[DC*sen (120°) ]*(3cos x – 4sen x) / ([4+sqrt(3)]*sqrt(3) – 5sqrt(3) cos x -5sen x )
Calcoliamo il limite di
(3 cos x – 4 sen x) / ([4+sqrt(3)]*sqrt(3) – 5sqrt(3) cos x -5sen x ) ,
applicando Hopital si ottiene come risultato
-5 /(3sqrt(3)-4)
moltiplicando questo valore per DC *sen(120°) che è uguale a L* sqrt(3)/2 si ottiene
-5 L sqrt(3)/[6sqrt(3)-8]
salvo errori
2) Con C(9,6) indico le combinazioni semplici dei 9 numeri presi a 6 a 6 , cioè tutti i possibili gruppi che si possono formare prendendo 6 dei 9 numeri .
Ad esempio, possiamo considerare il gruppo
5, 8, 3, 1, 9, 2
scrivendo le cifre in ordine crescente otteniamo il numero 123589 e viceversa.
Quindi ad ogni gruppo di 6 numeri gli possiamo associare un numero con le cifre in ordine crescente e viceversa.
Questo significa che C(9,6) = 84 sono i numeri aventi le cifre in ordine crescente.
4) le prime 4 lettere possono essere scelte in 4! = 24 modi (sono permutazioni semplici), le ultime due lettere possono essere scelte in 2 modi (AE oppure EA), in totale si hanno
24 * 2 = 48 parole
[size=150]Se qualcosa non ti torna chiedi pure.[/size]
Grazie Piera, sei stato gentilissimo.Mi sembrava strano infatti avere un limite con 2 variabili, non mi era mai capitato.
D'altra parte vado abbastanza bene in matematica ma ogni tanto prendo delle toppe mostruose.
Adesso affronterò l'altra tua proposta sperando che mi riesca, altrimenti proverò a richiederti, se posso permettermi, qualcosa.
Grazie da parte di PILLOS.
D'altra parte vado abbastanza bene in matematica ma ogni tanto prendo delle toppe mostruose.
Adesso affronterò l'altra tua proposta sperando che mi riesca, altrimenti proverò a richiederti, se posso permettermi, qualcosa.
Grazie da parte di PILLOS.
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