Risolvere un limite
Salve.. Sto ripassando la matematica che avevo studiato quasi 40 anni orsono alle superiori.. per tenere allenata la mente in vista della vecchiaia ( quasi 58 anni )
Non so come scrivere le formule.. cercherò di spiegarle..
E' facile trovare il limite di questa funzione con x che tende a zero di: Log-naturale (1+x)/x Risultato = 1
Se voglio trovare invece il limite della funzione di cui sopra ma invertita ? cioè x / Log-naturale (1+x) sempre con x tendente a zero..
Quali sono i passaggi per trovare tale limite ?
Essendo il reciproco del primo limite uguale a 1 ovviamente è 1 anche il limite della seconda funzione ( quella invertita con la sola X al numeratore e Log-naturale (1+x) al denominatore..
Per sfuggire dalla forma indeterminata 0/0.... quali "trucchi" vengono usati ?
Non so come scrivere le formule.. cercherò di spiegarle..
E' facile trovare il limite di questa funzione con x che tende a zero di: Log-naturale (1+x)/x Risultato = 1
Se voglio trovare invece il limite della funzione di cui sopra ma invertita ? cioè x / Log-naturale (1+x) sempre con x tendente a zero..
Quali sono i passaggi per trovare tale limite ?
Essendo il reciproco del primo limite uguale a 1 ovviamente è 1 anche il limite della seconda funzione ( quella invertita con la sola X al numeratore e Log-naturale (1+x) al denominatore..
Per sfuggire dalla forma indeterminata 0/0.... quali "trucchi" vengono usati ?
Risposte
Sono reduce da una giornata lavorativa, perciò non fidarti troppo di quello che ti dico... ma ce la metto tutta. 
$ \lim_(x -> 0) \frac{log(1+x)}{x} = 1 $
se ti interessa vedere come ho scritto la formula, puoi citare il testo del mio messaggio. Ma è più semplice di quello che sembra e puoi vedere anche il link "formule" presente nel box rosa in alto in ogni pagina del forum (se sei sul pc).
Dal punto di vista teorico, se uno volesse fare un calcolo non saprei dirti: come detto non ho molta lucidità a quest'ora.
Ma dal punto di vista pratico, c'è un teorema che dice che se il limite di una funzione esiste ed è finito il limite del reciproco della funzione è il reciproco del limite. In altre parole
$ \lim_(x -> 0) f(x) = l, \qquad l \in \RR, l \ne 0 $ allora $ \lim_(x->0) \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l}$.
"Angelo12":
E' facile trovare il limite di questa funzione con x che tende a zero di: Log-naturale (1+x)/x Risultato = 1
$ \lim_(x -> 0) \frac{log(1+x)}{x} = 1 $
se ti interessa vedere come ho scritto la formula, puoi citare il testo del mio messaggio. Ma è più semplice di quello che sembra e puoi vedere anche il link "formule" presente nel box rosa in alto in ogni pagina del forum (se sei sul pc).
Se voglio trovare invece il limite della funzione di cui sopra ma invertita ? cioè x / Log-naturale (1+x) sempre con x tendente a zero..
Dal punto di vista teorico, se uno volesse fare un calcolo non saprei dirti: come detto non ho molta lucidità a quest'ora.
Ma dal punto di vista pratico, c'è un teorema che dice che se il limite di una funzione esiste ed è finito il limite del reciproco della funzione è il reciproco del limite. In altre parole
$ \lim_(x -> 0) f(x) = l, \qquad l \in \RR, l \ne 0 $ allora $ \lim_(x->0) \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l}$.
"Zero87":
Sono reduce da una giornata lavorativa, perciò non fidarti troppo di quello che ti dico... ma ce la metto tutta.
[quote="Angelo12"]E' facile trovare il limite di questa funzione con x che tende a zero di: Log-naturale (1+x)/x Risultato = 1
$ \lim_(x -> 0) \frac{log(1+x)}{x} = 1 $
se ti interessa vedere come ho scritto la formula, puoi citare il testo del mio messaggio. Ma è più semplice di quello che sembra e puoi vedere anche il link "formule" presente nel box rosa in alto in ogni pagina del forum (se sei sul pc).
Se voglio trovare invece il limite della funzione di cui sopra ma invertita ? cioè x / Log-naturale (1+x) sempre con x tendente a zero..
Dal punto di vista teorico, se uno volesse fare un calcolo non saprei dirti: come detto non ho molta lucidità a quest'ora.
Ma dal punto di vista pratico, c'è un teorema che dice che se il limite di una funzione esiste ed è finito il limite del reciproco della funzione è il reciproco del limite. In altre parole
$ \lim_(x -> 0) f(x) = l, \qquad l \in \RR, l \ne 0 $ allora $ \lim_(x->0) \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l}$.[/quote]
Grazie... non avevo fatto caso al quadratino in rosa per la spiegazione tecnica d'inserimento delle formule..
Il limite del quale vorrei i singoli passaggi è questo: $lim_(x->0){x}/{logn(1+x)}$
Ho tentato di "trasformare" tale limite nel limite notevole ( suo reciproco ) $ \lim_(x -> 0) \frac{logn(1+x)}{x} = 1 $... e non ci sono riuscito ..
Probabilmente sono arrugginito e non ricordo i vari trucchetti che venivano insegnati per risolvere questi "problemi"
Ciao @Angelo ! E ciao anche @Zero, naturalmente !
Innanzitutto, essendo uno dei tuoi primissimi messaggi, benvenuto sul forum. Scusate se mi intrometto in questo thread; come ha già spiegato Zero, sfruttando il teorema del limite del reciproco, non c'è la necessità di trasformare quel limite nel suo reciproco. Ad ogni modo, se proprio ne hai bisogno poiché non ci sei riuscito e ti interessa sapere come si fa, credo sia sufficiente sfruttare la proprietà $a=1/(1/a)$ con $a!=0$. In questo caso puoi scrivere: $lim_(x->0)x/ln(1+x)=lim_(x->0)1/(ln(1+x)/x)$ e, applicando il teorema/proprietà del limite del quoziente, ottieni il risultato cercato. Chiedo ancora scusa per l'intervento, mi sembrava solo che Angelo stesse anche chiedendo come trasformare quel limite in modo da far comparire quello notevole.
Saluti
Innanzitutto, essendo uno dei tuoi primissimi messaggi, benvenuto sul forum. Scusate se mi intrometto in questo thread; come ha già spiegato Zero, sfruttando il teorema del limite del reciproco, non c'è la necessità di trasformare quel limite nel suo reciproco. Ad ogni modo, se proprio ne hai bisogno poiché non ci sei riuscito e ti interessa sapere come si fa, credo sia sufficiente sfruttare la proprietà $a=1/(1/a)$ con $a!=0$. In questo caso puoi scrivere: $lim_(x->0)x/ln(1+x)=lim_(x->0)1/(ln(1+x)/x)$ e, applicando il teorema/proprietà del limite del quoziente, ottieni il risultato cercato. Chiedo ancora scusa per l'intervento, mi sembrava solo che Angelo stesse anche chiedendo come trasformare quel limite in modo da far comparire quello notevole.
Saluti
"BayMax":
Ciao @Angelo ! E ciao anche @Zero, naturalmente !
Innanzitutto, essendo uno dei tuoi primissimi messaggi, benvenuto sul forum. Scusate se mi intrometto in questo thread; come ha già spiegato Zero, sfruttando il teorema del limite del reciproco, non c'è la necessità di trasformare quel limite nel suo reciproco. Ad ogni modo, se proprio ne hai bisogno poiché non ci sei riuscito e ti interessa sapere come si fa, credo sia sufficiente sfruttare la proprietà $a=1/(1/a)$ con $a!=0$. In questo caso puoi scrivere: $lim_(x->0)x/ln(1+x)=lim_(x->0)1/(ln(1+x)/x)$ e, applicando il teorema/proprietà del limite del quoziente, ottieni il risultato cercato. Chiedo ancora scusa per l'intervento, mi sembrava solo che Angelo stesse anche chiedendo come trasformare quel limite in modo da far comparire quello notevole.
Saluti
Grazie.
Però io chiedevo se era possibile trovare il limite in questione senza passare per il limite notevole già noto..( che supponiamo non sia conosciuto ).
Forse sto complicando le cose per niente... e mi sono intestardito.
Comunque ora passo alle derivate.. ..
Ciao..
Scusami, avevo frainteso. Si, di alternative ce ne sono. Andando in ordine di studio, dopo i limiti notevoli, vedrai le derivate (che stai iniziando ora, come hai scritto) e, con queste ultime, arriverà il teorema di De l'Hopital che permette di risolvere limiti nelle forme indeterminate $0/0$ o $infty/infty$ ed altri ad esse riconducibili. Se ti sposti in campo universitario (poiché alle superiori non vengono trattati, che io sappia), dopo De l'Hopital si studiano gli sviluppi di Taylor/Mac Laurin che permettono di risolvere quel tipo di limiti. Questi sono i metodi che conosco io. Molto probabilmente ne esistono altri, ma il mio è un livello molto basso di matematica/analisi matematica.
Saluti
Saluti
"BayMax":
Scusami, avevo frainteso. Si, di alternative ce ne sono. Andando in ordine di studio, dopo i limiti notevoli, vedrai le derivate (che stai iniziando ora, come hai scritto) e, con queste ultime, arriverà il teorema di De l'Hopital che permette di risolvere limiti nelle forme indeterminate $0/0$ o $infty/infty$ ed altri ad esse riconducibili. Se ti sposti in campo universitario (poiché alle superiori non vengono trattati, che io sappia), dopo De l'Hopital si studiano gli sviluppi di Taylor/Mac Laurin che permettono di risolvere quel tipo di limiti. Questi sono i metodi che conosco io. Molto probabilmente ne esistono altri, ma il mio è un livello molto basso di matematica/analisi matematica.
Saluti
Grazie.. ora ricordo di aver studiato qualcosa all'università ( solo 3 esami ad ingegneria ) su sviluppi in serie di Taylor ed anche De Hopital... Qualche bit di memoria è ancora accessibile.. meno male.. Tanti ricordi stanno tornando a galla..
Comunque non si dice "risolvere un limite", si dice "calcolare un limite", come nel caso di questo esercizio, oppure "verificare un limite" se si ha il risultato, ma si vuole verificarne la veridicità attraverso la definizione di limite.
"BayMax":
Ciao @Angelo ! E ciao anche @Zero, naturalmente ! [...] Chiedo ancora scusa per l'intervento, mi sembrava solo che Angelo stesse anche chiedendo come trasformare quel limite in modo da far comparire quello notevole.
Saluti
Ciao a voi, e ciao a te, BayMax!
Ma che chiedi scusa, sei gentilissimo!
(Poi hai un avatar stupendo.
)
[ot]Confermo hai un avatar bellissimo! Dolcissimo! E tu, leggendoti, un po' me lo ricordi sai?! 
[/ot]
[/ot]
"@melia":
Comunque non si dice "risolvere un limite", si dice "calcolare un limite", come nel caso di questo esercizio, oppure "verificare un limite" se si ha il risultato, ma si vuole verificarne la veridicità attraverso la definizione di limite.
Bene.. mi ricordo che qualche professore di matematica diceva : la terminologia deve essere sempre rigorosa.. perché la matematica è rigorosa...
Appena termino di ripassare le derivate ( mi sono fatto dare il libro di 5 liceo di matematica.. della metà anni 90... i programmi di oggi sono più o meno gli stessi di allora e della fine anni 70 ? ) applicherò il teorema di De l' Hopital ( richiede la conoscenza delle derivate mi sembra ) ai limiti per superare le forme indeterminate..
Veramente i programmi di oggi sono un po' più dettagliati, da quando c'è stato l'aumento di ore di matematica allo scientifico. Rispetto agli anni precedenti si fa molta più roba, tipo Statistica, Probabilità, equazioni differenziali, calcolo con le matrici, numeri complessi, ...
Per farti un esempio, questo è il programma da sapere per la maturità scientifica:
• Utilizzare le diverse rappresentazioni dei numeri, riconoscendone l’appartenenza agli insiemi N, Z, Q, R e C. Interpretare geometricamente le operazioni di addizione e di moltiplicazione in C.
• Mettere in relazione le radici di un polinomio, i suoi fattori lineari ed i suoi coefficienti. Applicare il principio d'identità dei polinomi.
• Risolvere, anche per via grafica, equazioni e disequazioni algebriche (e loro sistemi) fino al 2° grado ed equazioni o disequazioni ad esse riconducibili.
• Utilizzare i risultati principali della geometria euclidea, in particolare la geometria del triangolo e del cerchio, le proprietà dei parallelogrammi, la similitudine e gli elementi fondamentali della geometria solida; dimostrare proposizioni di geometria euclidea, con metodo sintetico o analitico.
• Servirsi delle funzioni circolari per esprimere relazioni tra gli elementi di una data configurazione geometrica.
• Scegliere opportuni sistemi di riferimento per l’analisi di un problema.
• Determinare luoghi geometrici a partire da proprietà assegnate.
• Porre in relazione equazioni e disequazioni con le corrispondenti parti del piano.
• Applicare simmetrie, traslazioni e dilatazioni riconoscendone i rispettivi invarianti.
• Studiare rette, coniche e loro intersezioni nel piano nonché rette, piani, superfici sferiche e loro intersezioni nello spazio utilizzando le coordinate cartesiane.
• Analizzare le proprietà di iniettività, suriettività, invertibilità di funzioni definite su insiemi qualsiasi. Riconoscere ed applicare la composizione di funzioni.
• Applicare gli elementi di base del calcolo combinatorio.
• Analizzare le proprietà di parità, monotonia, periodicità di funzioni definite sull’insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme.
• Individuare le caratteristiche fondamentali e i parametri caratteristici delle progressioni aritmetiche e geometriche e delle funzioni polinomiali, lineari a tratti, razionali fratte, circolari, esponenziali e logaritmiche, modulo e loro composizioni semplici.
• A partire dall’espressione analitica di una funzione, individuare le caratteristiche salienti del suo grafico e viceversa; a partire dal grafico di una funzione, tracciare i grafici di funzioni correlate: l'inversa (se esiste), la reciproca, il modulo, o altre funzioni ottenute con trasformazioni geometriche.
• Discutere l'esistenza e determinare il valore del limite di una successione definita con un'espressione analitica o per ricorrenza.
• Discutere l'esistenza e determinare il valore del limite di una funzione, in particolare i limiti, per x che tende a 0, di sen(x)/x, (ex-1)/x e limiti ad essi riconducibili.
• Riconoscere le caratteristiche di continuità e derivabilità di una funzione e applicare i principali teoremi riguardanti la continuità e la derivabilità.
• Determinare la derivata di una funzione ed interpretarne geometricamente il significato.
• Applicare il calcolo differenziale a problemi di massimo e minimo.
• Analizzare le caratteristiche della funzione integrale di una funzione continua e applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.
• A partire dal grafico di una funzione, tracciare i grafici della sua derivata e di una sua funzione integrale.
• Interpretare geometricamente l’integrale definito e applicarlo al calcolo di aree.
• Determinare primitive di funzioni utilizzando integrali immediati, integrazione per sostituzione o per parti.
• Determinare la probabilità di un evento utilizzando i teoremi fondamentali della probabilità, il calcolo combinatorio, il calcolo integrale.
• Valutare la dipendenza o l’indipendenza di eventi casuali.
• Analizzare la distribuzione di una variabile casuale o di un insieme di dati e determinarne valori di sintesi, quali media, mediana, deviazione standard, varianza.
Per farti un esempio, questo è il programma da sapere per la maturità scientifica:
• Utilizzare le diverse rappresentazioni dei numeri, riconoscendone l’appartenenza agli insiemi N, Z, Q, R e C. Interpretare geometricamente le operazioni di addizione e di moltiplicazione in C.
• Mettere in relazione le radici di un polinomio, i suoi fattori lineari ed i suoi coefficienti. Applicare il principio d'identità dei polinomi.
• Risolvere, anche per via grafica, equazioni e disequazioni algebriche (e loro sistemi) fino al 2° grado ed equazioni o disequazioni ad esse riconducibili.
• Utilizzare i risultati principali della geometria euclidea, in particolare la geometria del triangolo e del cerchio, le proprietà dei parallelogrammi, la similitudine e gli elementi fondamentali della geometria solida; dimostrare proposizioni di geometria euclidea, con metodo sintetico o analitico.
• Servirsi delle funzioni circolari per esprimere relazioni tra gli elementi di una data configurazione geometrica.
• Scegliere opportuni sistemi di riferimento per l’analisi di un problema.
• Determinare luoghi geometrici a partire da proprietà assegnate.
• Porre in relazione equazioni e disequazioni con le corrispondenti parti del piano.
• Applicare simmetrie, traslazioni e dilatazioni riconoscendone i rispettivi invarianti.
• Studiare rette, coniche e loro intersezioni nel piano nonché rette, piani, superfici sferiche e loro intersezioni nello spazio utilizzando le coordinate cartesiane.
• Analizzare le proprietà di iniettività, suriettività, invertibilità di funzioni definite su insiemi qualsiasi. Riconoscere ed applicare la composizione di funzioni.
• Applicare gli elementi di base del calcolo combinatorio.
• Analizzare le proprietà di parità, monotonia, periodicità di funzioni definite sull’insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme.
• Individuare le caratteristiche fondamentali e i parametri caratteristici delle progressioni aritmetiche e geometriche e delle funzioni polinomiali, lineari a tratti, razionali fratte, circolari, esponenziali e logaritmiche, modulo e loro composizioni semplici.
• A partire dall’espressione analitica di una funzione, individuare le caratteristiche salienti del suo grafico e viceversa; a partire dal grafico di una funzione, tracciare i grafici di funzioni correlate: l'inversa (se esiste), la reciproca, il modulo, o altre funzioni ottenute con trasformazioni geometriche.
• Discutere l'esistenza e determinare il valore del limite di una successione definita con un'espressione analitica o per ricorrenza.
• Discutere l'esistenza e determinare il valore del limite di una funzione, in particolare i limiti, per x che tende a 0, di sen(x)/x, (ex-1)/x e limiti ad essi riconducibili.
• Riconoscere le caratteristiche di continuità e derivabilità di una funzione e applicare i principali teoremi riguardanti la continuità e la derivabilità.
• Determinare la derivata di una funzione ed interpretarne geometricamente il significato.
• Applicare il calcolo differenziale a problemi di massimo e minimo.
• Analizzare le caratteristiche della funzione integrale di una funzione continua e applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.
• A partire dal grafico di una funzione, tracciare i grafici della sua derivata e di una sua funzione integrale.
• Interpretare geometricamente l’integrale definito e applicarlo al calcolo di aree.
• Determinare primitive di funzioni utilizzando integrali immediati, integrazione per sostituzione o per parti.
• Determinare la probabilità di un evento utilizzando i teoremi fondamentali della probabilità, il calcolo combinatorio, il calcolo integrale.
• Valutare la dipendenza o l’indipendenza di eventi casuali.
• Analizzare la distribuzione di una variabile casuale o di un insieme di dati e determinarne valori di sintesi, quali media, mediana, deviazione standard, varianza.
@Zero87 e @3m0o
[ot]
Grazie @Zero87 e @3m0o
! Che dire, sono un tenerone, romanticone e nostalgico cresciuto a pane e classici Disney. Di avatar che mi fanno ricordare la mia infanzia ne ho visti diversi sul forum, tra cui il tuo Cosmo @Zero87 e Maga Magò di melia. "Non ce la faccio, troppi ricordi" cit. 
[/ot]
[ot]
"Zero87":
Ciao a voi, e ciao a te, BayMax!
Ma che chiedi scusa, sei gentilissimo!
(Poi hai un avatar stupendo.
"3m0o":
Confermo hai un avatar bellissimo! Dolcissimo! E tu, leggendoti, un po' me lo ricordi sai?!
Grazie @Zero87 e @3m0o
! Che dire, sono un tenerone, romanticone e nostalgico cresciuto a pane e classici Disney. Di avatar che mi fanno ricordare la mia infanzia ne ho visti diversi sul forum, tra cui il tuo Cosmo @Zero87 e Maga Magò di melia. "Non ce la faccio, troppi ricordi" cit. [/ot]
Una curiosità che ho colto a dx e sx sull'utilizzo del teorema di De l'Hopital, per il calcolo di limiti che si presentano nella forma indeterminata, è la poca "simpatia" che suscita.
Cosa che non sembra verificarsi con gli sviluppi di Taylor.
C'è qualche spiegazione ?
Ricordo di aver studiato qualcosa su sviluppi in serie (di potenze ) all'università moltissimi anni orsono ( pochi esami ad ingegneria.. sia chiaro ) ... e ricordo che mi ero fatto questa domanda: Ma come cavolo era venuto in mente al Taylor di approssimare una funzione tramite l'uso delle sue derivate successive ?
Cosa che non sembra verificarsi con gli sviluppi di Taylor.
C'è qualche spiegazione ?
Ricordo di aver studiato qualcosa su sviluppi in serie (di potenze ) all'università moltissimi anni orsono ( pochi esami ad ingegneria.. sia chiaro ) ... e ricordo che mi ero fatto questa domanda: Ma come cavolo era venuto in mente al Taylor di approssimare una funzione tramite l'uso delle sue derivate successive ?
Parere di un non matematico che usa De L'Hopital se può
Il metodo di De L'Hopital, alla fin fine, è "solo" una tecnica, una procedura, una scorciatoia e questo (sebbene sia molto utile) non interessa più di tanto un matematico mentre le serie di Taylor sono un "concetto", un'idea che va al di là del semplice utilizzo nei limiti.
D'altronde tu stesso lo confermi indirettamente, dicendo "ma come è venuto in mente ..." una cosa del genere.
Io non lo so ma presumo che ci sia arrivato pian piano partendo dal fatto che la derivata prima è già di per se una "linearizzazione" (locale) della funzione ... IMHO
Cordialmente, Alex
Il metodo di De L'Hopital, alla fin fine, è "solo" una tecnica, una procedura, una scorciatoia e questo (sebbene sia molto utile) non interessa più di tanto un matematico mentre le serie di Taylor sono un "concetto", un'idea che va al di là del semplice utilizzo nei limiti.
D'altronde tu stesso lo confermi indirettamente, dicendo "ma come è venuto in mente ..." una cosa del genere.
Io non lo so ma presumo che ci sia arrivato pian piano partendo dal fatto che la derivata prima è già di per se una "linearizzazione" (locale) della funzione ... IMHO
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Parere di un non matematico che usa De L'Hopital se può
Il metodo di De L'Hopital, alla fin fine, è "solo" una tecnica, una procedura, una scorciatoia e questo (sebbene sia molto utile) non interessa più di tanto un matematico mentre le serie di Taylor sono un "concetto", un'idea che va al di là del semplice utilizzo nei limiti.
D'altronde tu stesso lo confermi indirettamente, dicendo "ma come è venuto in mente ..." una cosa del genere.
Io non lo so ma presumo che ci sia arrivato pian piano partendo dal fatto che la derivata prima è già di per se una "linearizzazione" (locale) della funzione ... IMHO
Cordialmente, Alex
Difatti... ai matematici piace la matematica per il puro piacere di fare matematica..
Io, dalla mia modesta posizione di tecnico che non è riuscito a laurearsi, uso la matematica per risolvere problemi "concreti" che si presentano nella realtà lavorativa.
Chissà da dove ha avuto lo spunto Taylor per arrivare ai suoi sviluppi in serie.. C'era qualche necessità impellente per trovare una approssimazione con dei polinomi ( dove ci sono le derivate ) ? Puro piacere di "giocare" con la matematica ? Può darsi...
Lo sviluppo in serie di solito riguarda ( se non sbaglio ) funzioni per le quali ci siano delle derivate prime seconde terze quarte.. tipicamente le funzioni sinusoidali cos e sin.... Ma il motivo per il quale qualcuno abbia deciso di farsi venire il mal di testa per trovare approssimazioni via via sempre più vicine alla funzione originale.. proprio non me lo so spiegare...
Per non dire delle trasformate di Laplace ( Simili a quelle di Fourier ).. delle quali ricordo solo la tabelle da imparare a memoria. All'università mi ricordo che il professore mi disse qualcosa sulle serie di potenze che si potevano trasformare in qualche integrale che a sua volta conduceva alla trasformata di Laplace.. che semplificava i problemi con le equazioni differenziali..
https://hsm.stackexchange.com/questions/2495/what-was-the-historical-context-of-the-development-of-taylor-series
Apparentemente, cosa che non sapevo, lo sviluppo in serie di Taylor fu "scoperto" da un astronomo indiano per facilitare i calcoli astronomici, ma non arrivò mai in Europa questa scoperta. Mentre sapevo che fu (ri)scoperto in Europa nel 1671 (ho controllato non ricordavo la data) da James Gregory (il nomer Taylor è dovuto al fatto che fu Brook Taylor a pubblicarlo anni dopo).
Comunque immagino che il motivo per la necessità di trovare approssimazione di funzione con i polinomi è dovuto proprio alla "concretezza" in un certo senso. I polinomi sono facili da trattare. E approssimare una funzione con un polinomio in un intorno di un dato punto vuol dire saper valutare in modo approssimativo quella funzione in quel punto. Chiaramente più la tua approssimazione è corretta e più il valore che ottieni. Oltre che a semplificarti la vita in un sacco di calcoli/dimostrazioni.
Devi pensare che non avevano calcolatrici o computer, in realtà ancora oggi i computer spesso approssimano certe funzioni per dei polinomi (vedi teorema di approssimazione di Weierstrass), se ti chiedessi di trovarmi il valore del coseno in \( x=0.0456 \) come fai? Puoi cercare di giocare un po' con gli angoli, ma buona fortuna, però puoi dirti: approssimo il coseno con
\[ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \]
e sostituire, è sicuramente più fattibile. Sostituendo \( x= 0.0456 \) ottieni \(0.9989605001557504 \), se metti in un software come wolframalpha, ottieni \( \cos(0.0456) = 0.9989605001432639 \ldots \)
Ora è sicuramente un ottima approssimazione, ma può essere solo un approssimazione siccome \( \cos(0.0456) \) non è razionale mentre \(0.9989605001557504 \) è razionale. Ma come fai a calcolare un numero irrazionale? Non puoi, puoi solo fare approssimazioni.
Apparentemente, cosa che non sapevo, lo sviluppo in serie di Taylor fu "scoperto" da un astronomo indiano per facilitare i calcoli astronomici, ma non arrivò mai in Europa questa scoperta. Mentre sapevo che fu (ri)scoperto in Europa nel 1671 (ho controllato non ricordavo la data) da James Gregory (il nomer Taylor è dovuto al fatto che fu Brook Taylor a pubblicarlo anni dopo).
Comunque immagino che il motivo per la necessità di trovare approssimazione di funzione con i polinomi è dovuto proprio alla "concretezza" in un certo senso. I polinomi sono facili da trattare. E approssimare una funzione con un polinomio in un intorno di un dato punto vuol dire saper valutare in modo approssimativo quella funzione in quel punto. Chiaramente più la tua approssimazione è corretta e più il valore che ottieni. Oltre che a semplificarti la vita in un sacco di calcoli/dimostrazioni.
Devi pensare che non avevano calcolatrici o computer, in realtà ancora oggi i computer spesso approssimano certe funzioni per dei polinomi (vedi teorema di approssimazione di Weierstrass), se ti chiedessi di trovarmi il valore del coseno in \( x=0.0456 \) come fai? Puoi cercare di giocare un po' con gli angoli, ma buona fortuna, però puoi dirti: approssimo il coseno con
\[ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \]
e sostituire, è sicuramente più fattibile. Sostituendo \( x= 0.0456 \) ottieni \(0.9989605001557504 \), se metti in un software come wolframalpha, ottieni \( \cos(0.0456) = 0.9989605001432639 \ldots \)
Ora è sicuramente un ottima approssimazione, ma può essere solo un approssimazione siccome \( \cos(0.0456) \) non è razionale mentre \(0.9989605001557504 \) è razionale. Ma come fai a calcolare un numero irrazionale? Non puoi, puoi solo fare approssimazioni.
Sottolineo il fatto che quando non c'erano le calcolatrici e si doveva fare tutto a mano o ricorrere alle tavole logaritmiche o logaritmico-goniometriche i polinomi erano una cosa calcolabile con facilità perché avevano solo somme e prodotti.
"Angelo12":
Chissà da dove ha avuto lo spunto Taylor per arrivare ai suoi sviluppi in serie..
Sebbene OT, il thread è piuttosto interessante e (forse) si potrebbe tagliare e cucire in "Didattica della matematica, storia e fondamenti" IMHO.
Ho letto con interesse gli interventi precedenti e vorrei dare un contributo, sebbene terra terra.
Purtroppo non ricordo dove lo lessi (forse nel Boyer ma potenzialmente da altre parti) perciò dovete fidarvi della mia memoria
Taylor scrisse un paper riguardo il suo sviluppo in serie attorno al 1750 e lo propose a diverse università ma (un po' come accadde a Galois) finì dritto nei cassetti perchè Taylor non utilizzò una scrittura condivisa, pertanto il suo scritto richiedeva un certo ammontare di lavoro di "traduzione" che scoraggiò i più.
Venne però ripreso e "traslato" intorno al 1780 da Legendre (e mi pare anche Fourier che all'epoca studiava appunto sotto Legendre).
L'idea che si potesse esprimere una funzione tramite una serie infinita convergente era già nota dalla fine del secolo precedente: quindi lo spunto a ricercare un metodo era probabilmente già di dominio pubblico da decenni. Se si volesse spiegare in soldoni l'idea di Taylor (senza pretese di formalismi), io farei così.
Scriverei su un foglio $f(x)=sum_(n=0)^(oo) a_n(x-c)^n$
Mi chiederei insomma se esista una serie polinomiale del genere e come potrei ricavare le costanti $a_n$.
Sviluppando avrei $f(x)=a_0(x-c)^0+a_1(x-c)^1+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+...+a_n(x-c)^n+...$
Per $x=c$ ho che $f(c)=a_0$
Poi noterei che il membro di destra è infinitamente derivabile e ipotizzerei la medesima cosa per $f(x)$.
Applicando ripetutamente la derivata ad entrambi i membri:
$f'(x)=1*a_1+1*2*a_2(x-c)+1*3a_3(x-c)^2+...+1*n*a_n(x-c)^(n-1)+... rArr f'(c)=1!a_1$
$f''(x)=1*2*a_2+1*2*3a_3(x-c)+...+1*(n-1)*n*a_n(x-c)^(n-2)+... rArr f''(c)=2!a_2$
$f^3(x)=1*2*3a_3+...+1*(n-2)*(n-1)*n*a_n(x-c)^(n-3)+... rArr f^3(c)=3!a_3$
Da cui, per induzione, otterrei il termine generico $f^n(c)=n!a_n rArr a_n=(f^n(c))/(n!)$
Lungi dall'affermare che Taylor abbia proceduto così, però è un modo per vedere chiaramente lo sviluppo di un'idea.
Poi non tutte le funzioni $C^(oo)$ hanno una serie di Taylor in determinati punti (e le chiamiamo funzioni non analitiche) e un matematico ne dimostra anche la convergenza etc. etc.
"Bokonon":
[quote="Angelo12"]
Chissà da dove ha avuto lo spunto Taylor per arrivare ai suoi sviluppi in serie..
Sebbene OT, il thread è piuttosto interessante e (forse) si potrebbe tagliare e cucire in "Didattica della matematica, storia e fondamenti" IMHO.
Ho letto con interesse gli interventi precedenti e vorrei dare un contributo, sebbene terra terra.
Purtroppo non ricordo dove lo lessi (forse nel Boyer ma potenzialmente da altre parti) perciò dovete fidarvi della mia memoria
Taylor scrisse un paper riguardo il suo sviluppo in serie attorno al 1750 e lo propose a diverse università ma (un po' come accadde a Galois) finì dritto nei cassetti perchè Taylor non utilizzò una scrittura condivisa, pertanto il suo scritto richiedeva un certo ammontare di lavoro di "traduzione" che scoraggiò i più.
Venne però ripreso e "traslato" intorno al 1780 da Legendre (e mi pare anche Fourier che all'epoca studiava appunto sotto Legendre).
L'idea che si potesse esprimere una funzione tramite una serie infinita convergente era già nota dalla fine del secolo precedente: quindi lo spunto a ricercare un metodo era probabilmente già di dominio pubblico da decenni. Se si volesse spiegare in soldoni l'idea di Taylor (senza pretese di formalismi), io farei così.
Scriverei su un foglio $f(x)=sum_(n=0)^(oo) a_n(x-c)^n$
Mi chiederei insomma se esista una serie polinomiale del genere e come potrei ricavare le costanti $a_n$.
Sviluppando avrei $f(x)=a_0(x-c)^0+a_1(x-c)^1+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+...+a_n(x-c)^n+...$
Per $x=c$ ho che $f(c)=a_0$
Poi noterei che il membro di destra è infinitamente derivabile e ipotizzerei la medesima cosa per $f(x)$.
Applicando ripetutamente la derivata ad entrambi i membri:
$f'(x)=1*a_1+1*2*a_2(x-c)+1*3a_3(x-c)^2+...+1*n*a_n(x-c)^(n-1)+... rArr f'(c)=1!a_1$
$f''(x)=1*2*a_2+1*2*3a_3(x-c)+...+1*(n-1)*n*a_n(x-c)^(n-2)+... rArr f''(c)=2!a_2$
$f^3(x)=1*2*3a_3+...+1*(n-2)*(n-1)*n*a_n(x-c)^(n-3)+... rArr f^3(c)=3!a_3$
Da cui, per induzione, otterrei il termine generico $f^n(c)=n!a_n rArr a_n=(f^n(c))/(n!)$
Lungi dall'affermare che Taylor abbia proceduto così, però è un modo per vedere chiaramente lo sviluppo di un'idea.
Poi non tutte le funzioni $C^(oo)$ hanno una serie di Taylor in determinati punti (e le chiamiamo funzioni non analitiche) e un matematico ne dimostra anche la convergenza etc. etc.[/quote]
Molto interessante quello che hai scritto..
Per quanto riguarda Taylor io sono rimasto a questo diagramma che spiega ( in qualche maniera) come il Taylor sia arrivato al polinomio per approssimare una funzione partendo dall'equazione della retta e successivamente cercando di utilizzare una curva che si avvicini ancora di più alla f(x)... e lo ha fatto utilizzando le derivate successive della funzione di partenza..
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