Risolvere nel campo dei numeri complessi
non so se è la sezione giusta, comunque:
come vanno risolti gli esercizi di questo tipo?
"risolvere nel campo dei numeri complessi la seguente equazione:
$\ z^4 - z(sqrt(3)+i) = 0\$"
tutti gli esercizi sui numeri complessi che sono sul libro non sono di questo tipo.
devo trovare le z ma come? mi date qualche consiglio per risolvere l'equazione qui sopra?
come vanno risolti gli esercizi di questo tipo?
"risolvere nel campo dei numeri complessi la seguente equazione:
$\ z^4 - z(sqrt(3)+i) = 0\$"
tutti gli esercizi sui numeri complessi che sono sul libro non sono di questo tipo.
devo trovare le z ma come? mi date qualche consiglio per risolvere l'equazione qui sopra?
Risposte
Vedrai, è anche più facile che in $\mathbb{R}$, più cose sono concesse 
.
Partiamo raccogliendo:
$z(z^3 - (\sqrt{3}+i))=0$
Vale anche qui la legge di annullamento del prodotto, quindi la prima soluzione sarà $z=0$.
Per le altre 3 devi risolvere $z^3 = \sqrt{3}+i$ e per questo ti rimando a [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unit%C3%A0#Radici_di_un_numero_complesso_qualsiasi]questo link[/url].
Paola
.Partiamo raccogliendo:
$z(z^3 - (\sqrt{3}+i))=0$
Vale anche qui la legge di annullamento del prodotto, quindi la prima soluzione sarà $z=0$.
Per le altre 3 devi risolvere $z^3 = \sqrt{3}+i$ e per questo ti rimando a [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unit%C3%A0#Radici_di_un_numero_complesso_qualsiasi]questo link[/url].
Paola
ti ringrazio per l'aiuto, col tuo aiuto ho risolto l'equazione 
nel caso di quest'altro esercizio
$\ (z^2 + 4i)(z^3+i)=0 \$
trovo prima le radici di $\ (z^2 + 4i)=0 \$ e poi di $\ (z^3+i)=0 \$
$\ z = +- sqrt(-4i )\ $ => $\z= +-2isqrt(i) \$ è giusto?
mentre l'altra
$\ z^3 = -i \$ , risolvendola mi vengono le stesse radici 3 dell'unità (il triangolo sul piano di gauss) è giusto?
altro esercizio:
$\ (z^3 -1)(z^2+1)=0 \$
ho provato a risolverlo cosi:
$\ (z^3 -1)=0 \$ => $\ z^3 =1 \$ ho trovato prima le 3 radici dell'unità( e sul piano di gauss mi forma un triangolo)
poi ho risolto $\ (z^2+1)=0 \$ => $\z^2 = -1 \$ => $\z=+-sqrt(-1) \$=>$\ z=+-i \$
quindi alla fine sul piano di gaus ho quel triangolo della prima equazione piu altri 2 punti (0;1) e (0;-1).
è giusto? o ho sbagliato tutto?
nel caso di quest'altro esercizio
$\ (z^2 + 4i)(z^3+i)=0 \$
trovo prima le radici di $\ (z^2 + 4i)=0 \$ e poi di $\ (z^3+i)=0 \$
$\ z = +- sqrt(-4i )\ $ => $\z= +-2isqrt(i) \$ è giusto?
mentre l'altra
$\ z^3 = -i \$ , risolvendola mi vengono le stesse radici 3 dell'unità (il triangolo sul piano di gauss) è giusto?
altro esercizio:
$\ (z^3 -1)(z^2+1)=0 \$
ho provato a risolverlo cosi:
$\ (z^3 -1)=0 \$ => $\ z^3 =1 \$ ho trovato prima le 3 radici dell'unità( e sul piano di gauss mi forma un triangolo)
poi ho risolto $\ (z^2+1)=0 \$ => $\z^2 = -1 \$ => $\z=+-sqrt(-1) \$=>$\ z=+-i \$
quindi alla fine sul piano di gaus ho quel triangolo della prima equazione piu altri 2 punti (0;1) e (0;-1).
è giusto? o ho sbagliato tutto?
Va bene, ma il primo esercizio non è finito, devi calcolare la $sqrt(i)$
"@melia":
Va bene, ma il primo esercizio non è finito, devi calcolare la $sqrt(i)$
qualche consiglio? non mi viene nulla in mente su come risolvere $sqrt(i)$
$ z = +- 2i*(-1)^(1/4)$ oppure $ z = +- 2i*i^(1/2)$ boh
Si tratta di trovare $a, b in RR$ tali che $(a+ib)^2=i$
Dopo avrai gratis che $a+ib=sqrti$
Dopo avrai gratis che $a+ib=sqrti$
e se $\z^2 = -4i \$ lo risolvessi cosi?
$\ z^n = [rho(cos(theta) + isen(theta))]^n \$ $\ z^2 = rho^n(cos n theta + isen n theta) \$
$\ rho = sqrt(0^2 + (-4)^2) = sqrt(16) = 4 \$
$\ theta = arctan(-4/0) = 0 \$
$\z = 4^2( cos0 + i sen0) \$
è giusto o non andava svolto cosi?
$\ z^n = [rho(cos(theta) + isen(theta))]^n \$ $\ z^2 = rho^n(cos n theta + isen n theta) \$
$\ rho = sqrt(0^2 + (-4)^2) = sqrt(16) = 4 \$
$\ theta = arctan(-4/0) = 0 \$
$\z = 4^2( cos0 + i sen0) \$
è giusto o non andava svolto cosi?
$4/0 !=0$, 4 diviso un valore che tende a 0 tende a $oo$
L'arco la cui tangente tende a $+-oo$ è $+- pi/2$ e non $0$
L'arco la cui tangente tende a $+-oo$ è $+- pi/2$ e non $0$
"Gi8":
Si tratta di trovare $a, b in RR$ tali che $(a+ib)^2=i$
Dopo avrai gratis che $a+ib=sqrti$
Io ho pensato così $a^2 +b^2i^2 +2iab=i$
$a^2 - b^2 + 2iab=i$
da cui $a=b$ perchè i termini senza i si devono annullare
$2iab=i$ da cui $2ab=1$ da cui $a=b=1/sqrt2$
dunque $sqrti =1/sqrt2 +1/sqrt2i$
è giusto gi8?
Non proprio. Hai trovato una delle due soluzioni. Hai fatto un errore qui:
"gio73":
$a^2 - b^2 + 2iab=i$ da cui $a=b$ perchè i termini senza i si devono annullare ...
Non ho capito: a può essere diverso da b?
Ho dimenticato di considerare $sqrti= -1/sqrt2 -1/sqrt2i$?
Ho dimenticato di considerare $sqrti= -1/sqrt2 -1/sqrt2i$?
Sì, quella è l'altra soluzione. Precisamente accade questo:
Abbiamo il sistema ${(a^2=b^2),(2ab=1):}$ che diventa ${(a=b),(ab=1/2):} vv {(a= -b),(ab=1/2):}$
Il primo ha due soluzioni: ${(a=1/sqrt2),(b=1/sqrt2):} vv{(a= -1/sqrt2),(b= -1/sqrt2):}$, mentre il secondo non ha soluzioni.
Abbiamo il sistema ${(a^2=b^2),(2ab=1):}$ che diventa ${(a=b),(ab=1/2):} vv {(a= -b),(ab=1/2):}$
Il primo ha due soluzioni: ${(a=1/sqrt2),(b=1/sqrt2):} vv{(a= -1/sqrt2),(b= -1/sqrt2):}$, mentre il secondo non ha soluzioni.
capito tutto, sei stato splendido grazie $10^3$
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