Risolvere limite con logaritmo e seno

[insule23]

salve avrei un aiuto su come poter continuare questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite

[math]\lim_{x \to 1}\frac{logx\cdot log\left | x-1 \right |}{x-1}\cdot sin\frac{1}{x}[/math]

allora io ho iniziato in tal modo..
il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0.
quindi cambio la variabile e scrivo:

[math]x-1=t[/math]

e

[math]x=1+t[/math]

e quindi si ha che quando:

[math]x \to 1[/math]

implica che

[math]t \to 0[/math]

e riscrivo il limite come:

[math]\lim_{t \to 0}\frac{log(1+t)\cdot log\left | t \right |}{t}\cdot sin\frac{1}{1+t}[/math]

ora non sò come continuare.. se mi potete aiutare..
grazie..

[Studente Anonimo]

I limiti notevoli non vanno solo imparati a memoria, bensì è ben più
importante saperli riconoscere. In questo caso, in particolare, si ha

[math]
\begin{aligned}
\lim_{x \to 1} \frac{\log(x)\log|x+1|}{x-1} \sin\left(\frac{1}{x}\right)
& = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)\log|2 + t|}{t} \sin\left(\frac{1}{1 + t}\right) \\
& = \lim_{t \to 0} \, \frac{\log(1 + t)}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \, \log|2 + t|\sin\left(\frac{1}{1 + t}\right) \\
& = \dots
\end{aligned}\\
[/math]

e a questo punto, come detto sopra, è sufficiente riconoscere il limite notevole. ;)

[insule23]

scusa ma hai sbagliato a scrivere il limite il limite è:

[math]\lim_{x \to 1}\frac{logx\cdot log\left | x-1 \right |}{x-1}\cdot sin\frac{1}{x}[/math]

io ho provato a svolgero ma mi sono fermato qui:

[math]\lim_{t \to 0}\frac{log(1+t)\cdot log\left | t \right |}{t}\cdot sin\frac{1}{1+t}[/math]

no riesco più a proseguire..
se mi potete aiutare..
grazie..

[Studente Anonimo]

Tutto ciò che ho scritto vale comunque!! Devi solo considerare

[math]\log|t|[/math]

al posto di

[math]\log|2 + t|[/math]

. Non mi pare un dramma... :)

[insule23]

quindi essendo il limite

[math]\lim_{t \to 0}\frac{log(1+t)}{t}=1[/math]

si ha che

[math]\lim_{t \to 0}log\left | t \right |\cdot sin\left ( \frac{1}{1+t} \right )[/math]

essendo il seno una funzione limitata è una costante...
bisogna quindi considerare sia quando

[math]t \to 0^{-}[/math]

e sia quando

[math]t \to 0^{+}[/math]

...

è giusto?
sto andando in confusione..
potete aiutarmi..
grazie..

[Studente Anonimo]

Eccetto il fatto che una funzione limitata sia una costante (questa mi è nuova) il resto è tutto corretto. Ti faccio notare che non a caso è stato applicato un modulo sull'argomento del secondo logaritmo da cui segue che sia a zero meno che a zero più si ottiene il medesimo risultato. Dunque, il risultato è....

[insule23]

quindi abbiamo che avendo il log ha senso solo se l'argomento è

[math]>0[/math]

,quindi se

[math]x>0[/math]

quindi il limite di

[math]\\lim_{t \to 0^-}log\left | t \right |[/math]

non ha significato.

invece il limite di

[math]\\lim_{t \to 0^+}log\left | t \right |=-\infty [/math]

e quindi per il teorema di unicità del limite segue che il limite dato non esiste..

è giusto??
sto impazzendo...
se mi potete aiutare grazie..

[Studente Anonimo]

A quanto pare non riesci ad applicare la definizione di valore assoluto.
Infatti, si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{t\to 0^-}\log|t| = \lim_{t\to 0^+}\log|t| = -\infty\end{aligned}[/math]

e quindi segue
che

[math]\begin{aligned}\lim_{t\to 0}\log|t|= -\infty\end{aligned}[/math]

(Cerca di studiare con più tranquillità...) :)

[insule23]

ok va bene..
quindi essendo che

[math]\lim_{t \to 0 } sin\frac{1}{1+t}= sin 1[/math]

e quindi risulta il limite dato uguale a

[math]sin 1\cdot (-\infty )=-\infty [/math]

è giusto???
fammi sapere..
grazie..

[Studente Anonimo]

Sì, è giusto. ;)

[insule23]

ok grazie..