Risolvere la disequazione con arcoseno e seno

[reanto91]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio...
si risolva la disequazione:

[math]arcsin\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos x \right | \right )\cdot \sqrt{sin^{2}x-2sinx}\geq 0[/math]

ho provato a risolverla in tal modo.
partiamo da

[math]arcsin\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos x \right | \right )\geq 0[/math]

sappiamo che l'arcoseno assume valori positivi se il suo argomento e compreso tra 0 e 1, ovvero:

[math]0\leq \left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos x \right | \right )\leq 1[/math]

che è verificata per:

[math]\frac{\pi }{3}+2k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{2}+2k\pi \vee \frac{ 3}{2}\pi+2k\pi \leq x\leq \frac{5 }{3}\pi+2k\pi[/math]

mentre per

[math]\sqrt{sin^{2}x-2sinx}\geq 0[/math]

abbiamo

[math]sin^{2}x-2sinx \geq 0[/math]

[math]sin x(sin x-2)\geq 0[/math]

ovvero

[math]sin x \geq 0[/math]

cioè

[math]0\leq x\leq \pi [/math]

è giusto??? quali solo quindi le soluzioni..
fatemi sapere.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Sulla disequazione che coinvolge l'arcoseno è tutto ok. Sulla seconda, invece, bada bene che

[math]\sin x - 2 < 0 \; \; \forall\,x\in\mathbb{R}[/math]

. Dunque, dividendo ambo i membri della disequazione per tale
quantità occorre ricordarsi di invertire il simbolo di disuguaglianza. In sostanza, si ottiene

[math]\sin x \le 0 \; \Leftrightarrow \; \pi + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi\,, \; k\in\mathbb{Z}\\[/math]

.

A questo punto, per amor di semplicità, poni

[math]k=0[/math]

e rappresenta sulla circonferenza goniometrica le soluzioni della prima disequazione. Di tali archi di curva dovrai considerare solamente quelli in comunque con la soluzione della seconda disequazione dato che si tratta, in sostanza, del dominio della radice quadrata. Inoltre, ricordati di considerare le x per cui si annulla il radicando e contemporaneamente compatibili con il primo fattore. Quella è la soluzione cercata (a meno della periodicità che dovrai reintrodurre in maniera naturale).


Al solito, per dubbi e quant'altro chiedi pure ;)

[reanto91]

Scusa ma non ho capito come devo risolvere la disequazione
con il seno...
Perchè devo cambiare il segno..
mi puoi spiegare meglio..
sto andando in confusione..
Grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, sarai d'accordo che [math]1

[reanto91]

ok ora è chiaro..
quindi avrò che le soluzioni della disequazione data sono:

[math]\frac{3}{2}\pi+2k\pi \leq x\leq \frac{5}{3}\pi+2k\pi[/math]

con la condizione che

[math] x=\pi+2k\pi \vee x=2\pi+2k\pi[/math]

è giusto??
fammi sapere..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ni. Infatti,

[math]x=2k\pi\\[/math]

non è accettabile in quanto annulla l'argomento del logaritmo.

In definitiva, si ha

[math]\small Soluzione = \left\{ x\in\mathbb{R} : x = \pi+2k\pi, \; \frac{3}{2}\pi+2k\pi \le x \le \frac{5}{3}\pi + 2k\pi\,, \; k\in\mathbb{Z} \right\} \; .\\[/math]

Ciao e buono studio ;)