Risolvere disequazione fratta
$((x-1)/(x^2-x+2))$ $>=$0
come si risolve questa disequazione?
come si risolve questa disequazione?
Risposte
devi studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente e poi fare un piccolo grafico dei risultati così ottenuti mettendoli insieme e determinando quindi l'intervallo o gli intervalli in cui la frazione è positiva (regola dei sengi per la moltiplicazione e la divisione).
Cioè devi studiare
$x-1>=0$ e
$x^2-x+2>0$
Otterrai soluzioni per il numeratore e denominatore; confrontandole in un grafico, dovresti poter capire in quali intervalli avrai soluzioni positive o negative (con la regola dei segni citata) per l'intera frazione e scegliere solo quelli in cui la frazione è positiva o uguale a 0.
Provaci, poi magari ne riparliamo
Cioè devi studiare
$x-1>=0$ e
$x^2-x+2>0$
Otterrai soluzioni per il numeratore e denominatore; confrontandole in un grafico, dovresti poter capire in quali intervalli avrai soluzioni positive o negative (con la regola dei segni citata) per l'intera frazione e scegliere solo quelli in cui la frazione è positiva o uguale a 0.
Provaci, poi magari ne riparliamo
mi viene per il numeratore x $>=$ 1
e il denominatore per x^2 - x + 2 > 0 non ha nessuna soluzione perchè il delta è -7 sotto radice.
Quindi la disequazione è soddisfatta per x $>=$ 1 giusto?
e il denominatore per x^2 - x + 2 > 0 non ha nessuna soluzione perchè il delta è -7 sotto radice.
Quindi la disequazione è soddisfatta per x $>=$ 1 giusto?
esatto! Il delta negativo implica che la disequazione al denominatore è sempre soddisfatta o non è mai soddisfatta. Nel tuo caso il denominatore è sempre maggiore di 0 e quindi la frazione è positiva o nulla per $x>=1$ come hai scritto.
Se moltiplichi primo e secondo membro per il denominatore $x^2-x+2$ ottieni $x-1>=0$ da cui, semplicemente la disequazione è vera per $AAx>1$
Aaaaarghhh! Non ho esplicitato che il denominatore ha radici immaginarie...
Aaaaarghhh! Non ho esplicitato che il denominatore ha radici immaginarie...
"GPaolo":
Se moltiplichi primo e secondo membro per il denominatore $x^2-x+2$ ottieni $x-1>=0$ da cui, semplicemente la disequazione è vera per $AAx>1$
ATTENZIONE! Questo modo di risolvere è pieno di insidie e tutt'altro che generale. Se il denominatore avesse avuto soluzioni reali, le soluzioni della disequazione sarebbero state completamente diverse ma il metodo da te proposto avrebbe fornito sempre la stessa soluzione sbagliata $x>=1$
"GPaolo":
Se moltiplichi primo e secondo membro per il denominatore $x^2-x+2$ ottieni $x-1>=0$ da cui, semplicemente la disequazione è vera per $AAx>1$
Se volessi imboccare questa scomoda strada dovresti distinguere due casi, poiché se ricordi i princìpi (o principii) per le disequazioni, se il valore per cui moltiplichi è negativo allora cambia il verso, e pertanto rischi di perdere delle soluzioni.
es.: $((x-1)(x+2))/(2x+3)>=0
${((x-1)(x+2)>=0),(2x+3>0):} uu {((x-1)(x+2)<=0),(2x+3<0):}
$x>=1 uu -2<=x<-3/2
$S={x inRR:-2<=x<-3/2 vv x>=1}=[-2;-3/2) uu [1;+oo)
non sono una grande matematica per imbattermi in strane scorciatoie ecc...
e devo dire che sto facendo molta confusione tra come si risolvono equazioni fratte di secondo grado e disequazioni fratte di secondo grado..
la C.E. quando si usa?
il procedimento di eliminare il denominatore moltiplicandolo per il numeratore vale sia per equaz che per disequaz?
ma cosa serve eliminarlo se poi non sparisce ma col denominatore poi si risolve una disequazione?
e devo dire che sto facendo molta confusione tra come si risolvono equazioni fratte di secondo grado e disequazioni fratte di secondo grado..
la C.E. quando si usa?
il procedimento di eliminare il denominatore moltiplicandolo per il numeratore vale sia per equaz che per disequaz?
ma cosa serve eliminarlo se poi non sparisce ma col denominatore poi si risolve una disequazione?
Per risolvere un'equazione hai i due principi di equivalenza che sicuramente ricordi:
I Principio
Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso addendo si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Per essere più operativo questo principio può essere visto anche come
legge del trasporto: un addendo può essere portato da un membro all'altro cambiandolo di segno
II Principio
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso fattore diverso da zero si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
il "diverso da zero" che compare nel secondo principio si traduce in "ogni volta che moltiplichi per un fattore devi accertarti che questo sia diverso da zero altrimenti rischi di aggiungere soluzioni" e "ogni volta che dividi per un termine devi accertarti che questo sia diverso da zero altrimenti rischi di perdere soluzioni"
Per le disequazioni il primo principio vale pari pari a quello delle equazioni. Per il II principio le cose sono diverse:
II Principio di equivalenza per le disequazioni
- Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso fattore maggiore di zero si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
- Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso fattore minore di zero si ottiene una disequazione controversa a quella data (cioè che il > diventa < e viceversa).
- È assolutamente vietato moltiplicare o dividere per un fattore di cui non si conosca il segno, perché non sai più quale verso deve avere la disuguaglianza finale
Suppongo che ora tu ti stia ponendo la domanda: chi sono i fattori di cui non si conosce il segno?
Sono quei fattori che contengono l'incognita e che possono cambiare segno come $x-3$ o $2x+5$ o $2x^2-x-15$
Per $x=-4$ i primi due sono negativi, mentre il terzo è positivo, per $x=1$ il primo e il terzo sono negativi, mentre il secondo è positivo, per $x=5$ sono tutti e tre positivi.
Tornando alla disequazione che hai postato $(x-1)/(x^2-x+2)>=0$, hai osservato tu stessa che il denominatore, avendo $Delta<0$, è sempre positivo, quindi puoi moltiplicare per il denominatore ed eliminarlo, la disequazione rimane $x-1>=0$
I Principio
Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso addendo si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Per essere più operativo questo principio può essere visto anche come
legge del trasporto: un addendo può essere portato da un membro all'altro cambiandolo di segno
II Principio
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso fattore diverso da zero si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
il "diverso da zero" che compare nel secondo principio si traduce in "ogni volta che moltiplichi per un fattore devi accertarti che questo sia diverso da zero altrimenti rischi di aggiungere soluzioni" e "ogni volta che dividi per un termine devi accertarti che questo sia diverso da zero altrimenti rischi di perdere soluzioni"
Per le disequazioni il primo principio vale pari pari a quello delle equazioni. Per il II principio le cose sono diverse:
II Principio di equivalenza per le disequazioni
- Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso fattore maggiore di zero si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
- Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso fattore minore di zero si ottiene una disequazione controversa a quella data (cioè che il > diventa < e viceversa).
- È assolutamente vietato moltiplicare o dividere per un fattore di cui non si conosca il segno, perché non sai più quale verso deve avere la disuguaglianza finale
Suppongo che ora tu ti stia ponendo la domanda: chi sono i fattori di cui non si conosce il segno?
Sono quei fattori che contengono l'incognita e che possono cambiare segno come $x-3$ o $2x+5$ o $2x^2-x-15$
Per $x=-4$ i primi due sono negativi, mentre il terzo è positivo, per $x=1$ il primo e il terzo sono negativi, mentre il secondo è positivo, per $x=5$ sono tutti e tre positivi.
Tornando alla disequazione che hai postato $(x-1)/(x^2-x+2)>=0$, hai osservato tu stessa che il denominatore, avendo $Delta<0$, è sempre positivo, quindi puoi moltiplicare per il denominatore ed eliminarlo, la disequazione rimane $x-1>=0$
"elena29E":
non sono una grande matematica per imbattermi in strane scorciatoie ecc...
e devo dire che sto facendo molta confusione tra come si risolvono equazioni fratte di secondo grado e disequazioni fratte di secondo grado..
la C.E. quando si usa?
il procedimento di eliminare il denominatore moltiplicandolo per il numeratore vale sia per equaz che per disequaz?
ma cosa serve eliminarlo se poi non sparisce ma col denominatore poi si risolve una disequazione?
Allora, in una equazione poste le condizioni di esistenza (C.E.) puoi "eliminare" il denominatore grazie al secondo principio (moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per uno stesso valore diverso da zero, si ottiene una equazione equivalente); l'esistenza si deve porre poiché non ha senso una frazione con 0 al denominatore, infatti se ti ricordi degli accenni alla teoria dei numeri, 0 non ha inverso, non ha senso scrivere $1/0$.
In una disequazione le cose si complicano poiché tu non sai se la quantità a denominatore è positiva o negativa; sia ad esempio $x/(x+2)>=0$[#], con $x!=-2$, ciò significa che $x+2$ può assumere tutti i valori di $RR-{-2}$ che possono essere $pm1,+ 2,pm 3, pmsqrt(3)$, $pm3/5$, e quindi tu non sai se $x+2$ è una quantità negativa o positiva. Pertanto se tu moltiplicassi per $x+2$ perderesti gli intervalli di soluzioni per $x+2$ numero negativo.
Prendiamo ancora ad esempio la disequazione [#] e vediamo un metodo di risoluzione giusto ed uno errato.
$x/(x+2)>=0
METODO CORRETTO
Studiamo la positività di numeratore e denominatore, ossia cerchiamo quali valori rendono rispettivamente positivi il numeratore [N(x)] e il denominatore [D(x)].
$N(x)>0 rArr x>=0
$D(x)>0 rArr x> -2
Notiamo due cose importanti: la [#] chiede quando $(N(x))/(D(x))>=0$ pertanto nello studio della positività del N(x) mettiamo $>=$ (maggiore o uguale); mentre per il denominatore usiamo solo $>$ (strettamente maggiore) e ciò significa che per D(x) prendiamo in considerazione solo ed esclusivamente i valori strettamente maggiori di 0. Così facendo escludiamo i valori che "annullano" il D(x) ossia i valori che rendono D(x)=0; per questo motivo nelle disequazioni la C.E. è implicita, la facciamo nello stesso momento in cui studiamo la positività del D(x).
Dopo aver studiato la positività facciamo la tabella riassuntiva (o calcolo dei segni) e scegliamo gli intervalli che soddisfano la richiesta della disequazione (in questo caso gli intervalli in cui [#] è positiva o uguale a 0):
La [#] ha come soluzioni $x<-2 vv x>=0$.
N.B.: la positività è sempre $N(x)>0$ oppure $N(x)>=0$ (a seconda che $(N(x))/(D(x))$ sia $>,>=,<,<=$) e$ D(x)>0$.
METODO ERRATO
Per le disequazioni il secondo principio subisce una modifica: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso valore (strettamente) positivo, si ottiene una disequazione equivalente. Se il valore è (strettamente) negativo occorre cambiare il verso della disequazione.
$x/(x+2)*(x+2)>=0 *(x+2) rArr x>=0
Notiamo che abbiamo perso la parte di soluzioni $x<-2$.
E qui viene il mio discorso di prima che forse ti ha confuso un po'. Se tu volessi applicare il secondo principio per le disequazioni dovresti contemplare due casi: quello per $D(x)>0$ e quello per $D(x)<0$; ma questa cosa è molto scomoda, allora i matematici si sono detti: perché "eliminare" il denominatore se poi ci tocca fare 2 sistemi ed un'unione?
A fine unicamente teorico vediamo come dovremmo fare se volessimo "eliminare" D(x).
Primo caso: supponiamo il denominaotre positivo ed applichiamo il secondo principio.
${(x>=0),(x+2>0):}
Secondo caso: supponiamo il denominatore negativo ed applichiamo il secondo principio.
${(x<0),(x+2<0):}
Dobbiamo prendere in considerazione entrambe le ipotesi, quindi uniamo:
${(x>=0),(x+2>0):} vv {(x<0),(x+2<0):}
Questa è l'applicazione letterale del principio, infatti nel caso in cui a denominatore ci sia un numero negativo, il verso cambia.
L'unione dei due sistemi ci dà le soluzioni corrette: $x<-2 vv x>=0$.
Prendiamo in esame una semplice disequazione:
$(|x|+2)/(x-1)^2<0$ (ebbene sì, mi piace $x+2$).
Studiamo separatamente numeratore e denominatore.
$N(x)>0 rArr |x|+2>0 rArr|x|> -2$ traduzione: quando una quantità sempre positiva (il modulo) è maggiore di un numero negativo? Sempre.
$D(x)>0 rArr (x-1)^2>0$ traduzione: quando il quadrato di un numero è maggiore di 0? Sempre; può tuttavia essere uguale a 0, pertanto dobbiamo porre $x!=1$.
Concludendo, il numeratore è sempre positivo, il denominatore anche eccetto per $x=1$; quando $(|x|+2)/(x-1)^2$ è minore di 0?
Adesso vediamo un altro esempietto:
$(x+3)/(x^2-3x+11)<=0
$N(x)>=0 rArr x>=-3
$D(x)>0 rArr x^2-3x+11>0
$x_(1,2)=(3pmsqrt(9-44))/2 rArr Delta<0$ non ci sono soluzioni reali pertanto il denominatore è sempre strettamente positivo.
Soluzioni?
$(|x|+2)/(x-1)^2<0$ (ebbene sì, mi piace $x+2$).
Studiamo separatamente numeratore e denominatore.
$N(x)>0 rArr |x|+2>0 rArr|x|> -2$ traduzione: quando una quantità sempre positiva (il modulo) è maggiore di un numero negativo? Sempre.
$D(x)>0 rArr (x-1)^2>0$ traduzione: quando il quadrato di un numero è maggiore di 0? Sempre; può tuttavia essere uguale a 0, pertanto dobbiamo porre $x!=1$.
Concludendo, il numeratore è sempre positivo, il denominatore anche eccetto per $x=1$; quando $(|x|+2)/(x-1)^2$ è minore di 0?
Adesso vediamo un altro esempietto:
$(x+3)/(x^2-3x+11)<=0
$N(x)>=0 rArr x>=-3
$D(x)>0 rArr x^2-3x+11>0
$x_(1,2)=(3pmsqrt(9-44))/2 rArr Delta<0$ non ci sono soluzioni reali pertanto il denominatore è sempre strettamente positivo.
Soluzioni?
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