Risolvere disequazione esponenziale (185745)

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio..
Si studi la seguente disequazione:

[math]\left ( \left | \frac{e^{2x}-5e^{x}+6}{e^{x}+2} \right |-1 \right )\cdot \sqrt{x^{2}-5x+6}\geq 0[/math]

é un prodotto di due fattori quindi il segno dipende da quello dei fattori ed è positivo,come ci richiede il testo, se essi sono concordi o almeno uno è nullo.
quindi dobbiamo risolvere due disequazioni:
la prima

[math]\left ( \left | \frac{e^{2x}-5e^{x}+6}{e^{x}+2} \right |-1 \right ) \geq 0[/math]

che diventa

[math]\left ( \left | \frac{e^{2x}-5e^{x}+6}{e^{x}+2} \right | \right ) \geq 1[/math]

mentre la seconda è

[math]\sqrt{x^{2}-5x+6}\geq 0[/math]

è giusto???
come faccio a risolvere la prima essendoci il valore assoluto e l'esponenti con base e...
spero che mi possiate aiutare..
fatemi sapere..
grazie..

[bimbozza]

è giusto. Se avere

[math]e^x[/math]

ti mette in crisi, fai un cambio di variabile:

[math]e^x=t[/math]

e studia quindi

[math]|\frac{t^2-5t+6}{t+2}| \geq 1[/math]

[insule23]

allora abbiamo che:

[math]\frac{t^{2}-5t+6}{t+2}\leq 1\, \, \cup \, \, \frac{t^{2}-5t+6}{t+2}\geq 1[/math]

per la prima abbiamo che

[math]t< -2[/math]

mentre per la seconda:

[math]-2< t\leq 3-\sqrt{5}\, \, \vee \, \, t\geq 3+\sqrt{5}[/math]

e quindi le soluzioni sono queste..
è giusto???
ora come a ricondurmi alle

[math]e^{x}[/math]

se mi potete aiutare...
fatemi sapere...
grazie..

[bimbozza]

Benchè tu abbia dimenticato un meno quando hai svolto separatamente i due casi, i risultati sono giusti quindi presumo sia una svista.
Adesso sai che

[math]t=e^x[/math]

quindi quindi sostituisci nelle tue soluzioni tale valore e ricavati il valore delle x. Per esempio:

[math]e^x \geq 3+\sqrt5[/math]

equivale a

[math]x\geq ln(3+\sqrt5)[/math]

[insule23]

Allora abbiamo che
per la prima disequazione le soluzioni risultano essere:

[math]x< ln\left ( -2 \right )\, \, \cup \, \, ln\left ( -2 \right )< x\leq ln\left ( 3-\sqrt{5} \right )\vee x\geq ln(3+\sqrt5)[/math]

mentre per la seconda disequazione

[math]\sqrt{x^{2}-5x+6}\geq 0\rightarrow x^{2}-5x+6\geq 0[/math]

le soluzioni sono:

[math]x\leq 2\, \, \vee \, x\geq 3[/math]

Ora vediamo quando i due fattori sono concordi tramite il seguente grafico:
[img]http://it.tinypic.com/r/2mxhg2a/8[/img]

le soluzioni della disequazione data sono:

[math]x< ln\left ( -2 \right )\vee ln\left ( -2 \right )< x\leq ln\left ( 3-\sqrt{5} \right )\vee \geq ln(3+\sqrt5)\leq x\leq 2\vee [/math]

[math]x\geq 3[/math]

è giusto???
fatemi sapere..
grazie..

[bimbozza]

non è propriamente corretto. Fatti questa domanda: quant'è ln(-2)?

[insule23]

Non esiste..
Quindi quali sarebbero le soluzioni..
Se me le puoi scrivere
per favore...
Grazie..

[bimbozza]

le soluzioni corrette della prima disequazione sono:

[math]x \leq ln(3- \sqrt5)[/math]

e

[math]x \geq ln(3+ \sqrt5)[/math]

[insule23]

quindi le soluzione sono:

[math]x\leq ln\left ( 3-\sqrt{5} \right )\vee \geq ln(3+\sqrt5)\leq x\leq 2\vee[/math]

[bimbozza]

manca

[math]x \geq 3[/math]