Risoluzione sistemi di disequazioni logaritmiche con cambiamento di base

[zabby995]

ragazzi devo risolvere questo sistema:

[math]log_{1/2}(x^2-8)>0\\log_3(2+x^2)>1[/math]

ho provato a cambiare di base la prima:

[math]log_{1/2}(x^2-8)=\frac{log_3(x^2-8)}{log_32}[/math]

ora non so più come andare avanti.. qualcuno ha qualche idea
grazie in anticipo
ragazzi scusate sono nuovo.. non so come si scrive il codice.. ora lo aggiorno

[SteDV]

Codice corretto; no problem! ;)

Ascolta, secondo me ti stai un po' perdendo. Prova a risolvere separatamente le due disequazioni e ricordati le condizioni di esistenza.

Prima disequazione

[math]log_{1/2}(x^2 - 8) > 0[/math]

La condizione di esistenza richiede che l'argomento del logaritmo sia maggiore di 0:

[math]x^2 - 8 > 0 \rightarrow x < -\sqrt{8} \vee x > \sqrt{8}[/math]

Ora risolvi la disequazione, ricordando che 0, a destra del ">", si può riscrivere come logaritmo in base 1/2 di 1 (che vale appunto 0):

[math]log_{1/2}(x^2 - 8) > log_{1/2}(1)[/math]

[math]x^2 - 8 < 1 \rightarrow -3 < x < 3[/math]

N.B. Il segno della disequazione si inverte, nel momento in cui elimino i logaritmi, perché la base 1/2 è minore di 1.

Seconda disequazione:

[math]log_{3}(2 + x^2) > 1[/math]

La condizione di esistenza è vera per ogni x, infatti:

[math]2 + x^2 > 0 \rightarrow x^2 > -2[/math]

Quindi risolvi la disequazione (qui devi ricordarti che 1 si può sostituire con il logaritmo in base 3 di 3, in questo caso):

[math]log_{3}(2 + x^2) > log_{3}(3)[/math]

[math]2 + x^2 > 3 \rightarrow x < -1 \vee x > 1[/math]

N.B. Questa volta, il segno della disequazione non cambia, eliminando i logaritmi, perché 3 è maggiore di 1.

Ti allego il diagramma da cui deriva la soluzione del sistema:

[math]-3 < x < -\sqrt{8} \vee \sqrt{8} < x < 3[/math]