Risoluzione sistema per calcolare equazione ellisse

[NerdMind]

Salve, ho un problema che dice: "Calcolare l'equazione dell'ellisse passante per i punti P1 = \(\displaystyle {\sqrt{3}},{\sqrt{\frac{8}{3}}} \) e P2 = \(\displaystyle 1, {\sqrt{\frac{32}{9}}} \)

Ora, con l'equazione dell'ellisse \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) ho impostato il seguente sistema:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\frac{3}{a^{2}}+\frac{8}{3b^{2}}=1 \\
\\
\frac{1}{a^{2}}+\frac{32}{9b^{2}}=1 \\
\end{matrix}\right. \)

Utilizzando il metodo di sostituzione dovrei ottenere \(\displaystyle a^{2}=9 \) e \(\displaystyle b^{2}=4 \)

Solamente non riesco a capire come applicare il metodo di sostituzione a questo sistema... potreste darmi una mano?

[mgrau]

Per esempio, dalla seconda ricavi $1/a^2$ e sostituisci nella prima.
O, se preferisci, chiami $1/a^2 = x$ e $1/b^2 = y$ eccetera

[teorema55]

Puoi anche (ma è la stessa cosa) eguagliare i due primi membri, visto che entrambi valgono $1$.

Ottieni in questo modo una relazione tra $a^2$ e $b^2$, ricavi uno dei due in funzione dell'altro e lo sostituisci in una qualsiasi delle due equazioni originarie, ovviamente quella più semplice e/o che comporti calcoli meno laboriosi.

Ricavato $a^2$, per esempio, lo sostituisci nella relazione di cui sopra per ricavare anche il valore di $b^2$.

E' solo una complicazione equivalente a quanto detto da mgrau.

[NerdMind]

Ho provato varie volte ma proprio non riesco a risolverlo! Anche sostituendo con x e y! Sono una frana

Vi ringrazio comunque per l'aiuto

[@melia]

$\{(3/a^2+ 8/(3b^2) = 1),(1/a^2+32/(3b^2)=1):}$

Posto $1/a^2=u$ e $1/b^2=v$ ottieni

$\{(3u+ 8/3v = 1),(u+32/9v=1):}$ dalla seconda equazione ricavi $u$ e lo sostituisci nella prima

$\{(3( -32/3v+1)+ 8/3v = 1),(u= -32/9v+1):}$

$\{(( 8-32)/3v = 1-3),(u= -32/9v+1):}$

$\{( -24/3v = -2),(u= -32/9v+1):}$

$\{( -8v = -2),(u= -32/9v+1):}$

$\{( v = 1/4),(u= -32/9*1/4+1):}$

$\{( v = 1/4),(u= 1-8/9):}$

$\{( v = 1/4),(u= 1/9):}$ da cui $\{( b^2 = 4),(a^2= 9):}$

[NerdMind]

"@melia":$\{(3/a^2+ 8/(3b^2) = 1),(1/a^2+32/(3b^2)=1):}$

Posto $1/a^2=u$ e $1/b^2=v$ ottieni

$\{(3u+ 8/3v = 1),(u+32/9v=1):}$ dalla seconda equazione ricavi $u$ e lo sostituisci nella prima

$\{(3( -32/3v+1)+ 8/3v = 1),(u= -32/9v+1):}$

$\{(( 8-32)/3v = 1-3),(u= -32/9v+1):}$

$\{( -24/3v = -2),(u= -32/9v+1):}$

$\{( -8v = -2),(u= -32/9v+1):}$

$\{( v = 1/4),(u= -32/9*1/4+1):}$

$\{( v = 1/4),(u= 1-8/9):}$

$\{( v = 1/4),(u= 1/9):}$ da cui $\{( b^2 = 4),(a^2= 9):}$

Ora ho capito dove sbagliavo! Il procedimento era tutto giusto, però non spostavo il +1 a destra dell'uguale! Ora me lo riguardo con calma e mi rifaccio tutti i passaggi, sei stata gentilissima e grazie pure agli altri Siete la mia salvezza!