Risoluzione Limiti

[Riccardo5991]

Salve dovrei risolvere questi limiti senza utilizzare il teorema di de l'Hopital.

$ lim_(x -> 0+)ln(tg9x)/ln(tg4x ) $

Qui ho applicato la proprietà del rapporto dei logaritmi dopo aver trasformato la tangente in rapporto ma poi mi sono bloccato, non riesco a procedere

$ lim_(x -> 0) (x-ln(1+x))/ (tg^2x) $

Anche qui, ho provato alcuni passaggi ma senza arrivare a una soluzione concreta

$ lim_(x -> pi/3) (sqrt(3) - tgx) / (sen ( pi/3-x)) $


Qui addirittura non mi sono saputo muovere, se non facendo semplici passaggi come trasformare la tangente o utilizzare le formule di addizione e sottrazione al denominatore, ma senza risolvere nulla

$ lim_(x -> +oo ) ((2x+1)/ (3+2x) )^(x-1) $

Qui ho provato a mettere in evidenza la x e ad applicare qualche passaggio ma invano

Grazie in anticipo per le eventuali risposte o suggerimenti

[giammaria2]

Regola per il futuro: non postare MAI più di un esercizio assieme perché si crea confusione nelle risposte. Terminato un esercizio, puoi usare lo stesso thread per proporne un altro; se hai fretta puoi aprire più thread contemporaneamente (senza esagerare).
Per il terzo esercizio consiglio la sostituzione \(\displaystyle u=\frac \pi 3-x \iff x=\frac \pi 3-u \)
Per il quarto, nota che
$(2x+1)/(2x+3)=1-2/(2x+3)=1-1/(x+3/2)$
e quindi fai la sotituzione $u=x+3/2$
Per i primi due dovrei pensarci ancora; cosa intendi parlando della proprietà del rapporto dei logaritmi?

[Shocker1]

Per il primo potresti usare gli infinitesimi(se li hai fatti), infatti sai che:

\( ln(tg(9x)) \thicksim ln(9x)\) per $x->0$ e \( ln(tg(4x)) \thicksim ln(4x)\) per $x->0$, quindi basta risolvere il seguente limite:

$lim_{x->0^+} ln(9x)/ln(4x)$

Il secondo mi sta dando del filo da torcere...

[Riccardo5991]

Vi ringrazio per le risposte, e mi scuso per aver postato tutti i limiti insieme, la prossima volta cercherò di postarli separati. La proprietà a cui facevo riferimento si basa sul fatto che essendo la tangente argomento del logaritmo allora svolgo così $ ln((sen9x)/(cos9x)) $ che diventa $ ln(sen9x) - ln(cos9x) $ , questo ovviamente al numeratore. Ma al denominatore ho fatto lo stesso passaggio. Ho fatto questi passaggi per provare a levare l'indeterminazione ma niente, grazie in anticipo e scusate ancora per il disagio

[Shocker1]

"Riccardo5991":Vi ringrazio per le risposte, e mi scuso per aver postato tutti i limiti insieme, la prossima volta cercherò di postarli separati. La proprietà a cui facevo riferimento si basa sul fatto che essendo la tangente argomento del logaritmo allora svolgo così $ ln((sen9x)/(cos9x)) $ che diventa $ ln(sen9x) - ln(cos9x) $ , questo ovviamente al numeratore. Ma al denominatore ho fatto lo stesso passaggio. Ho fatto questi passaggi per provare a levare l'indeterminazione ma niente, grazie in anticipo e scusate ancora per il disagio

Nel caso in cui non avessi fatto gli infinitesimi:

$lim_{x->0^+} ln(tg(9x))/ln(tg(4x)) = lim_{x->0^+} ln(tg(9x)* (9x)/(9x))/ln(tg(4x)*(4x)/(4x)) = lim_{x->0^+} ( ln( (tg(9x))/(9x)) + ln(9x))/( ln( (tg(4x))/(4x)) + ln(4x) ) = lim_{x->0^+} ( ln( (tg(9x))/(9x))+ ln(9) + ln(x))/(ln( (tg(4x))/(4x)) + ln(4) + ln(x))=...$

[Riccardo5991]

Shocker hai sfruttato il limite notevole $ lim_(x -> 0) tanx /x = 1 $ ? Perchè io purtroppo ho fatto veramente poco programma a scuola, anzi non io, la mia docente e non conoscendo quel limite ho fatto i seguenti passaggi senza riuscire ad eliminare l'indeterminazione



$ lim_(x -> 0+) lnx /(ln ((tan4x)/(4x)) + ln4 +lnx) + lim_(x -> 0+) (lntg9x -ln 9x)/ (ln (tan(4x)/x)+log4 +logx)+lim_(x -> 0+) ln9/((ln ((tan4x)/(4x)) +ln4 +lnx) $

Ho fatto qualche errore?

[Shocker1]

"Riccardo5991":Shocker hai sfruttato il limite notevole $ lim_(x -> 0) tanx /x = 1 $ ? Perchè io purtroppo ho fatto veramente poco programma a scuola, anzi non io, la mia docente e non conoscendo quel limite ho fatto i seguenti passaggi senza riuscire ad eliminare l'indeterminazione



$ lim_(x -> 0+) lnx /(ln ((tan4x)/(4x)) + ln4 +lnx) + lim_(x -> 0+) (lntg9x -ln 9x)/ (ln (tan(4x)/x)+log4 +logx)+lim_(x -> 0+) ln9/((ln ((tan4x)/(4x)) +ln4 +lnx) $

Ho fatto qualche errore?

sì ho sfruttato quel limite notevole. $lim_{x->0} (tg(9x))/(9x) = 1$ idem per $lim_{x->0} (tg(4x))/(4x)$, generalmente vale $lim_{x->0} (tg(f(x)))/f(x) = 1$ se $f(x)->0$ per $x->0$

No ma attenzione: i teoremi sul calcolo dei limiti[nota]limite di una somma, di un prodotto, di un quoziente, di una potenza[/nota] è meglio se li applichi solo quando non hai forme indeterminate altrimenti non concludi nulla.

Partendo dal limite che ho scritto:
$lim_{x->0^+} ( ln( (tg(9x))/(9x))+ ln(9) + ln(x))/(ln( (tg(4x))/(4x)) + ln(4) + ln(x))$

basta raccogliere $ln(x)$ per ottenere:
$lim_{x->0^+} ( ln(x)((ln( (tg(9x))/(9x)))/ln(x) + ln(9)/ln(x) + 1))/(ln(x)( (ln( (tg(4x))/(4x)))/ln(x) + ln(4)/ln(x) + 1)) = lim_{x->0^+} ((ln( (tg(9x))/(9x)))/ln(x) + ln(9)/ln(x) + 1)/( (ln( (tg(4x))/(4x)))/ln(x) + ln(4)/ln(x) + 1)$
Calcoliamo i limiti del numeratore e del denominatore e vediamo cosa esce:
numeratore: $lim_{x->0^+} (ln( (tg(9x))/(9x)))/ln(x) + ln(9)/ln(x) + 1 = [ln(1)/-oo] + [ln(9)/-oo] + 1 = [0/-oo] + [ln(9)/-oo] + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

denominatore: $lim_{x->0^+} (ln( (tg(4x))/(4x)))/ln(x) + ln(4)/ln(x) + 1 = [ln(1)/-oo] + [ln(4)/-oo] + 1 = [0/-oo] + [ln(4)/-oo] + 1 = 0 + 0 + 1$

quindi $lim_{x->0^+} ((ln( (tg(9x))/(9x)))/ln(x) + ln(9)/ln(x) + 1)/( (ln( (tg(4x))/(4x)))/ln(x) + ln(4)/ln(x) + 1) = 1/1 = 1$

ti trovi?

[Shocker1]

Per quanto riguarda il secondo limite... $lim_{x->0} (x - ln(x+1))/(tg^2(x))$ qualcuno è riuscito a risolverlo senza ricorrere alle derivate?

[giammaria2]

Credo proprio che non sia possibile, a meno di ricorrere agli sviluppi di Taylor; ma è uno strumento ancora più avanzato delle derivate.
Una smentita mi renderebbe felice.

[Shocker1]

"giammaria":Credo proprio che non sia possibile, a meno di ricorrere agli sviluppi di Taylor; ma è uno strumento ancora più avanzato delle derivate.
Una smentita mi renderebbe felice.

Ho pensato esattamente la stessa cosa
In questi giorni ho provato di tutto, tra sostituzioni e trucchi algebrici, ma niente.