Risoluzione limite

[giuseppe19967]

Salve a tutti ragazzi,
qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo limite senza utilizzare il teorema dell'Hopital?

$ lim_(x -> o +) ( x/2 ) ^ ( -3/lnx ) $
Mi scuso per l'incorretta scrittura ma cerco di fare del mio meglio

[@melia]

Ciao, giuseppe1996, benvenuto nel forum.
Sicuramente conoscerai la forma che permette di scrivere ogni funzione positiva nella forma $f(x)=e^(ln(f(x)))$, uso questa trasformazione per calcolare il limite:
$lim_(x -> 0^ +) ( x/2 ) ^ ( -3/lnx ) = lim_(x -> 0^ +) e^(ln (( x/2 ) ^ ( -3/lnx )))$
Come prima cosa va calcolato il limite dell'esponente, ti metto lo svolgimento in spoiler, se vuoi provare prima tu a svolgerlo.

$lim_(x -> 0^ +) ln (( x/2 ) ^ ( -3/lnx )) = $ per le poprietà dei logaritmi la forma diventa
$=lim_(x -> 0^ +) ( -3/lnx )*(ln ( x/2 ) ) = $ che si trasforma in
$=lim_(x -> 0^ +) ( -3(lnx-ln2)/lnx ) = -3 lim_(x -> 0^ +) (lnx-ln2)/lnx = -3*1= -3$ da cui segue
$lim_(x -> 0^ +) ( x/2 ) ^ ( -3/lnx ) = lim_(x -> 0^ +) e^(ln (( x/2 ) ^ ( -3/lnx )))=e^(-3)=1/e^3$

[giuseppe19967]

grazie mille @melia per il tuo contributo, ciò che non mi è chiaro è perché $ ( (lnx-ln2)/lnx ) $ esce 1

[@melia]

È una forma $oo/oo$ basta raccogliere a numeratore e a denominatore $lnx$ e poi semplificarlo.

[francicko]

x@melia.
Se scrivo $lim_(x->0^+)(x/2)^(-3/logx)=lim_(x->0^+)(2/x)^(3/logx)=(1/e^3)lim_(x->0^+)2^(3/logx)=(1/e^3)(2^0=1)=1/e^3$
essendo che $x^(3/logx)=(x=e^logx)^(3/logx)=e^((logx)xx(3/logx))=e^3$, può andar bene , o mi sbaglio?

[francicko]

Dove è l'errore, cosi come ho scritto?