Risoluzione equazioni goniometriche elementari
Volevo chiarire un mio "dubbio" sulle equazioni elementari.
Se ho un'equazione del tipo, ad esempio, $sen (x-\pi/6)=1/2$ penso di poter procedere in due modi.
Il primo procedimento implica che io eguagli la quantità in parentesi ad $y$, risolva tutto in $y$ e poi sostituisca alla variabile posta $(x-\pi/6)$ trovandomi i valori di $x$ che cerco.
Un altro metodo che io spesso utilizzo è questo:
trovo la funzione inversa del numero al secondo membro (in questo caso, $arcsen(1/2)=\pi/6$);
scrivo, nel nostro caso, $sen(x-\pi/6)=sen\pi/6$;
Risolvo utilizzando la formula che nel caso del seno è $\alpha=\alpha_1+2k\pi V \alpha+alpha_1=\pi+2k\pi$ dove ad $\alpha$ sostituisco $(x-\pi/6)$, e ad $alpha_1$ il valore $\pi/6$.
A questo punto, com'è ovvio, trovo i valori corrispondenti alla $x$.
Posso utilizzare tranquillamente questo secondo procedimento anche nella risoluzione di equazioni goniometriche elementari? Chiedo perchè, in genere, un'espressione tipo $tgx=\sqrt(3)$ io la risolvo sempre con questo metodo (qui ponendo $tgx=tg(\pi/3)$).
Grazie anticipatamente.
Se ho un'equazione del tipo, ad esempio, $sen (x-\pi/6)=1/2$ penso di poter procedere in due modi.
Il primo procedimento implica che io eguagli la quantità in parentesi ad $y$, risolva tutto in $y$ e poi sostituisca alla variabile posta $(x-\pi/6)$ trovandomi i valori di $x$ che cerco.
Un altro metodo che io spesso utilizzo è questo:
trovo la funzione inversa del numero al secondo membro (in questo caso, $arcsen(1/2)=\pi/6$);
scrivo, nel nostro caso, $sen(x-\pi/6)=sen\pi/6$;
Risolvo utilizzando la formula che nel caso del seno è $\alpha=\alpha_1+2k\pi V \alpha+alpha_1=\pi+2k\pi$ dove ad $\alpha$ sostituisco $(x-\pi/6)$, e ad $alpha_1$ il valore $\pi/6$.
A questo punto, com'è ovvio, trovo i valori corrispondenti alla $x$.
Posso utilizzare tranquillamente questo secondo procedimento anche nella risoluzione di equazioni goniometriche elementari? Chiedo perchè, in genere, un'espressione tipo $tgx=\sqrt(3)$ io la risolvo sempre con questo metodo (qui ponendo $tgx=tg(\pi/3)$).
Grazie anticipatamente.
Risposte
Questi metodi ti aiutano a cavartela in fretta, ed evitare il passaggio delle sostituzioni, tuttavia a volte ci vuole accortezza.
Ad esempio:
$cos(x+pi/3)=1/2$
allora tu dici, siccome $1/2$ è uguale a $cos(pi/3)$ quindi dici
$cos(x+pi/3)=cos(pi/3)$
da cui
$x+pi/3=pi/3+2kpi$ da cui $x=2kpi \quad k\inZZ$
Tuttavia è incompleto, perché il coseno vale 1/2 anche per $-pi/3$, o $5/3pi$, come preferisci scrivere.
Quindi
$cos(x+pi/3)=cos(5/3pi)$
$x+pi/3=5/3pi+2kpi$
$x=4/3pi+2kpi$
che è una soluzione diversa dalla precedente.
Questo per dirti: esercitati in questi metodi, servono molto, specialmente in futuro quando magari studierai le funzioni e risolvere un'equazione goniometrica sarà solo un pezzetto dell'esercizio. Risparmiare tempo aveno scioltezza è ottimo.
Se non ho chiarito qualche dubbio o non ho centrato il punto, fammi sapere.
Ciao.
Ad esempio:
$cos(x+pi/3)=1/2$
allora tu dici, siccome $1/2$ è uguale a $cos(pi/3)$ quindi dici
$cos(x+pi/3)=cos(pi/3)$
da cui
$x+pi/3=pi/3+2kpi$ da cui $x=2kpi \quad k\inZZ$
Tuttavia è incompleto, perché il coseno vale 1/2 anche per $-pi/3$, o $5/3pi$, come preferisci scrivere.
Quindi
$cos(x+pi/3)=cos(5/3pi)$
$x+pi/3=5/3pi+2kpi$
$x=4/3pi+2kpi$
che è una soluzione diversa dalla precedente.
Questo per dirti: esercitati in questi metodi, servono molto, specialmente in futuro quando magari studierai le funzioni e risolvere un'equazione goniometrica sarà solo un pezzetto dell'esercizio. Risparmiare tempo aveno scioltezza è ottimo.
Se non ho chiarito qualche dubbio o non ho centrato il punto, fammi sapere.
Ciao.
Nel caso di cui tu giustamente parli, io utilizzerei la formula $\alpha=+-alpha_1+2k\pi$ che mi porterebbe, correggimi se sbaglio, alle due soluzioni $x=2k\pi$ e $x=-2/3\pi+2k\pi$. Nel caso dlla tangente, utilizzerei la formula $\alpha=alpha_1+k\pi$; e nel caso del seno, $\alpha=\alpha_1+2k\pi V \alpha+\alpha_1=\pi+2k\pi$ che in realtà sono formule che noi abbiamo studiato, ma solo SUCCESSIVAMENTE alla risoluzione di equazioni elementari.
Per quanto riguarda il ragionamento che hai fatto "avvisandomi" è ottimo; devo però preoccuparmi, e "disabituarmi" a usare metodi del genere?
Per quanto riguarda il ragionamento che hai fatto "avvisandomi" è ottimo; devo però preoccuparmi, e "disabituarmi" a usare metodi del genere?
Giusto.
No, affatto.
Insisti e usa le scorciatoie se puoi, oltre a guadagnarne in eleganza, c'è proprio un fattore puramente pratico di tempo.
Il secondo ovviamente soggiunge in sede di esami, compiti o quello che è.
Per quanto riguarda il ragionamento che hai fatto "avvisandomi" è ottimo; devo però preoccuparmi, e "disabituarmi" a usare metodi del genere?
No, affatto.
Insisti e usa le scorciatoie se puoi, oltre a guadagnarne in eleganza, c'è proprio un fattore puramente pratico di tempo.
Il secondo ovviamente soggiunge in sede di esami, compiti o quello che è.
Si, certo...in sede di compiti in classe, specie se con poco tempo a disposizione (nel prossimo avremo un'ora) il tempo guadagnato non è marginale.
Grazie mille, mi hai chiarito un dubbio non da poco. Alla prossima!
Grazie mille, mi hai chiarito un dubbio non da poco. Alla prossima!
Figurati, ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo