Risoluzione equazioni esponenziali

[Emanuelehk]

Ciao, ritorno alla riscossa su un nuovo argomento. Al momento ne ho una in particolare che non riesco a risolvere, addirittura con due metodi diversi mi escono risultati diversi, ma mai quelli giusti

Ora provo con il primo, poi vedrò col secondo se non ci arrivo da solo.
Ho fatto un po' la ruggine riguardo i simboli laTex e curiosando sul pdf forse ho notato un possibile errore che al momento non ricordo come si corregge...

$\sqrt[n]{abc}$

Esercizio:
Faccio tutti i passaggi in esagerazione per vedere se mi ricordo bene le proprietà o se ho scordato qualcosa.

$\sqrt{2}^(x)+\sqrt{2}^(x-1)=2(sqrt{2}+1)$

$\sqrt{2^x}+\sqrt{2^(x-1)}=2(sqrt{2}+1)$

$2^(x/2)+2^(x/2)*2^(-1/2)=2(sqrt{2}+1)$

faccio la sostituzione: $t=2^(x/2)$

$t+2^(-1/2)t=2(sqrt{2}+1)$

$t+t/(sqrt{2})=2(sqrt{2}+1)$

$t(1+1/(sqrt{2}))=2(sqrt{2}+1)$

se razionalizzo al primo membro in teoria mi esce.....

$t(1+sqrt{2}/2)=2(sqrt{2}+1)$

$t((2+sqrt{2})/2)=2(sqrt{2}+1)$


moltiplico entrambi i membri per due per semplificare...


$2t((2+sqrt{2})/2)=2(sqrt{2}+1)2$


$t(2+sqrt{2})=4(sqrt{2}+1)$

e ora mi diverto un po' con la razionalizzazione spinta per la mia memoria , ma di sicuro ho già sbagliato qualcosa sopra!

$t(2+sqrt{2})/(2+sqrt{2})=4(sqrt{2}+1)/(2+sqrt{2})$

$t=4(sqrt{2}+1)/(2+sqrt{2})$


vediamo un po'...dovrebbe essere simile ad una differenza di quadrati, il denominatore al secondo membro per poterlo razionalizzare diventa....


$t=(4(sqrt{2}+1)*(2-sqrt{2}))/(2^2-2)$

ops...ho visto ora l'errore

in seguito sul foglio mi ero scordato di semplificare il 4 con il due sotto!
Già che ci sono la finisco, ma poi voglio risolverla con l'altro metodo che non mi è uscito corretto; questo che ho usato è in "modalità hardware...bit a bit" e quindi, tranne sviste doveva uscirmi !

$t=(4(sqrt{2}+1)*(2-sqrt{2}))/(2)$

$t=2(sqrt{2}+1)*(2-sqrt{2})$

$t=2(2 sqrt{2}-2+2-sqrt{2})$

$t=2sqrt{2}$

da questa.. $t=2^(x/2)$

$2^(x/2)=2^1*2^(1/2)$

$x/2=1+1/2$

Salto i passaggi e risulta:

$x=3$



Ora pausina poi vedo quella che non mi esce.

Ciao

[chiaraotta1]

Io risolverei così ...
$(sqrt(2))^(x)+(sqrt(2))^(x-1)=2(sqrt(2)+1)$
$(sqrt(2))^(x)+((sqrt(2))^(x))/sqrt(2)=2(sqrt(2)+1)$
$sqrt(2)(sqrt(2))^(x)+(sqrt(2))^(x)=2(sqrt(2)+1)sqrt(2)$
$(sqrt(2))^(x)(sqrt(2)+1)=2(sqrt(2)+1)sqrt(2)$
$(sqrt(2))^(x)=2sqrt(2)$
$(sqrt(2))^(x)=(sqrt(2))^3$
$x=3$.

[Emanuelehk]

Grade!


Il problema, dove l'ho trascurato pure io, è che l'obbiettivo sarebbe risolverlo con l'uso degli esponenziali e senza far uso delle proprietà dei radicali.

In poche parole il prof sta insegnando gli esponenziali a gente che non sa i radicali (io sono un piccolo caso a parte) e quindi mi ha imposto di dimenticare i radicali, la cosa però non mi viene facile.

C'è da dire comunque che questo era un esercizio scelto da me e quindi forse un po' troppo fuori tema dal solo uso degli esponenziali.

Appena ho tempo esporrò alcuni dubbi che per ora non ho ben compreso nel momento in cui esistono esponenziali con somma o sottrazione invece che moltiplicazione o divisione ed esponente diverso.


Ad esempio.

$2^(2x)+2^(3x)$ ecc....

qua non posso fare la sostituzione con $t$ perché sono diversi e se non erro non posso nemmeno abbassare l'equazione agli esponenti perché si tratta di somme o sottrazioni.

Ma vedrò di fare un esempio più concreto in seguito.

Un'altra cosa che devo capire è se e come posso passare da un membro all'altro con un esponenziale o una potenza qualsiasi variando di segno l'esponente, se solo in presenza di prodotti e divisioni o se è possibile fare qualcosa quando ci sono somme e differenze che tengono unito un membro.

Esempio.

$2^1*2^-2=2^3$

dovrebbe poter diventare così:
$2^1=2^3*2^2$

ma se ho una somma nel mezzo cosa può succedere?

$3+2^1*2^-2=2^3$
posso fare così:

$3+2^1=2^3*2^2$

vedo che in alcune situazioni mi viene corretta la cosa in altre no....devo rendermi conto dove rischierei di sbagliare.
Il fatto è che mi sta venendo facile fare queste manovre e rischio di fare errori.

ciao