Risoluzione equazioni e disequazioni goniometriche
Qaundo risolvo un'equazione o disequazione goniometrica ho principalmente un problema: non ricordo i valori in radianti di tutti gli angoli notevoli ma ricordo solo quelli del primo quadrante ovvero $2pi, pi/6, pi/4, pi/6, pi/2$. Come faccio a ricordare agevolmente tutti i valori di seno coseno e tangente. Ho sentito che non bisogna saperli a memoria ma a quanto pare si.
Risposte
E che problema c'è? Io di volta in volta mi faccio un disegnino striminzito (la circonferenza goniometrica) per vedere quali valori assumono seno, coseno e tangente. Io non me li ricordo. Se me li chiedi, ogni volta mi faccio un disegno nella mente e poi ti rispondo. Alla fine non sono così importanti da sapere, in tutta sincerità...
Si ma quando disegni la circonferenza goniometrica e una retta che sia orizzontale o verticale, i valori degli archi che vengono inersecati dalla retta li devi conoscere
Che significa? Cosa intendi di preciso?
Conoscere i valori dei (pochi) angoli notevoli del primo quadrante è sufficiente, a parer mio ...
Fai qualche esempio specifico ...
Conoscere i valori dei (pochi) angoli notevoli del primo quadrante è sufficiente, a parer mio ...
Fai qualche esempio specifico ...
Per esempio se ho l'equazione: $sin(x)=0$ oppure $sin(x)=1/2$ io sono subito quali sono le soluzioni perchè sono angoli notevoli del primo quadrante quindi per la prima sarà $x=kp$ e la seconda $x=pi/6+2kpi$ ma la seconda equazione ha anche un'altra soluzione che è: $5/6pi+2kpi$ solo che per trovare questa soluzione devo andare a guardare la circonferenza goniometrica con tutti i valori di seno e coseno in tutti i quadranti. Come posso fare per ricordare seno e coseno di archi come $2/3pi, 3/4pi, 5/6pi, 7/6pi, 5/4pi $ ecc, senza doverli ricordare a memoria e sopratutto dove si trovano questi archi sulla circonferenza
Non devi ricordarti tutto il mondo ma solo la circonferenza goniometrica ed il significato (oserei dire "il senso") di seno e coseno.
Disegna la circonferenza goniometrica (anche in modo approssimativo) e poi traccia un angolo qualsiasi nel primo quadrante (ovvero una semiretta che parte dall'origine e rimane tutta nel prima quadrante).
Dal punto $P$ in cui la semiretta tocca la circonferenza tracci la perpendicolare all'asse $x$ che viene intersecato nel punto $H$.
Ebbene $PH$ è il seno dell'angolo che hai tracciato. Punto. Questo ti devi ricordare. In aggiunta il segmento $OH$ è il coseno.
Come fare per trovare l'altro angolo che ha lo stesso seno? Semplice: tracci una retta orizzontale che passa per $P$, la quale toccherà la circonferenza in un altro punto che chiamiamo $Q$, congiungilo con l'origine.
L'angolo $beta=HOQ$ ha lo stesso seno di $alpha=HOP$ ed è facile vedere che $beta$ è il supplementare di $alpha$ cioè $beta=pi-alpha$.
Questa è una delle numerose formule relative agli archi associati, formule che non ricordo MAI ma non mi importa perché le posso ricostruire tutte in pochi secondi così come ho fatto or ora.
Chiaro?
Cordialmente, Alex
Disegna la circonferenza goniometrica (anche in modo approssimativo) e poi traccia un angolo qualsiasi nel primo quadrante (ovvero una semiretta che parte dall'origine e rimane tutta nel prima quadrante).
Dal punto $P$ in cui la semiretta tocca la circonferenza tracci la perpendicolare all'asse $x$ che viene intersecato nel punto $H$.
Ebbene $PH$ è il seno dell'angolo che hai tracciato. Punto. Questo ti devi ricordare. In aggiunta il segmento $OH$ è il coseno.
Come fare per trovare l'altro angolo che ha lo stesso seno? Semplice: tracci una retta orizzontale che passa per $P$, la quale toccherà la circonferenza in un altro punto che chiamiamo $Q$, congiungilo con l'origine.
L'angolo $beta=HOQ$ ha lo stesso seno di $alpha=HOP$ ed è facile vedere che $beta$ è il supplementare di $alpha$ cioè $beta=pi-alpha$.
Questa è una delle numerose formule relative agli archi associati, formule che non ricordo MAI ma non mi importa perché le posso ricostruire tutte in pochi secondi così come ho fatto or ora.
Chiaro?
Cordialmente, Alex
Vedi, olegfresi, è così che si fa! 
Si ho capito cosa serve fare per vedere quali angoli hanno stessi seni e coseni, il problema è che non ricordo il valori degli angoli in radianti che ci sono lungo la circonferenza
Impossibile ricordarli tutti, sono infiniti 
Battute a parte, non è chiarissimo (almeno per me) cosa vuoi ricordare ...
Angolo giro $= 360°= 2pi\text( rad)$
Angolo piatto (metà dell'angolo giro) $= 180° = pi\text( rad)$
Angolo retto (un quarto dell'angolo giro e metà dell'angolo piatto) $= 90° = pi/2\text( rad)$
Metà dell'angolo retto $= 45° = pi/4\text( rad)$
Un terzo dell'angolo retto $= 30° = pi/6\text( rad)$
Un terzo dell'angolo piatto $= 60° = pi/3\text( rad)$
Questi sono quelli più importanti, gli altri o li ricavi sommando/sottraendo/moltiplicando/dividendo questi o usando formule di addizione (quelle di sottrazione/duplicazione/bisezione si ricavano da quelle di addizione anzi da una sola in pratica).
Se non sono ricavabili così allora ti occorre la calcolatrice che però in tal caso sarebbe permessa ... IMHO
Ah, dimenticavo ... la proporzione $360 : 2pi = g : r$
Battute a parte, non è chiarissimo (almeno per me) cosa vuoi ricordare ...
Angolo giro $= 360°= 2pi\text( rad)$
Angolo piatto (metà dell'angolo giro) $= 180° = pi\text( rad)$
Angolo retto (un quarto dell'angolo giro e metà dell'angolo piatto) $= 90° = pi/2\text( rad)$
Metà dell'angolo retto $= 45° = pi/4\text( rad)$
Un terzo dell'angolo retto $= 30° = pi/6\text( rad)$
Un terzo dell'angolo piatto $= 60° = pi/3\text( rad)$
Questi sono quelli più importanti, gli altri o li ricavi sommando/sottraendo/moltiplicando/dividendo questi o usando formule di addizione (quelle di sottrazione/duplicazione/bisezione si ricavano da quelle di addizione anzi da una sola in pratica).
Se non sono ricavabili così allora ti occorre la calcolatrice che però in tal caso sarebbe permessa ... IMHO
Ah, dimenticavo ... la proporzione $360 : 2pi = g : r$
Ok, mi hai elencato gli archi del primo quadrante ma come devo fare per ricavare gli altri archi a partire da quelli che conosco nel primo quadrante. Non parlo dei valori di seno e coseno ma degli archi in se, espressi in radianti. Per esempio quando devo risolvere un'equazione devo andarmi a vedere la circonferenza goniometrica perchè gli angoli notevoli tra $pi/2$ e $pi$, tra $pi$ e $3/2pi$ e infine tra $3/2pi$ e $2pi$ non me li ricordo, perchè io ragiono ancora tra $0-2pi$ e non tra $-pi$ e $pi$
Non so più come dirtelo ... non te li devi ricordare!
Prendi l'esempio che ho fatto prima: se $alpha=pi/3$ dal procedimento che ho formulato sappiamo che l'angolo $beta$ che ha lo stesso seno sarà $beta=pi-alpha=pi-pi/3=(3pi)/3-pi/3=2/3pi$
Prendi l'esempio che ho fatto prima: se $alpha=pi/3$ dal procedimento che ho formulato sappiamo che l'angolo $beta$ che ha lo stesso seno sarà $beta=pi-alpha=pi-pi/3=(3pi)/3-pi/3=2/3pi$
Ah perfetto, allora si procede così per tutti gli angoli, grazie mille per la pazienza e le spiegazioni.
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