Risoluzione equazione esponenziale

[naighes]

Salve a tutti.
Ho trovato su un libro di testo un esercizio che chiede di risolvere la seguente equazione:

$ (2+sqrt(3))^(x^2-2x+1)+(2-sqrt(3))^(x^2-2x-1)=101/(10(2-sqrt(3))) $

Devo ammettere che lo trovo piuttosto ostico, o forse mi sfugge qualche particolare.
La mia idea è stata chiaramente quella di moltiplicare ambo i membri per $ (2-sqrt(3)) $, ottenendo quanto segue:

$ (2+sqrt(3))^(x^2-2x)+(2-sqrt(3))^(x^2-2x)=101/10 $

Credo di essermi comportato bene sino a questo punto, ma non saprei proprio come proseguire!
Non è che qualcuno di voi sarebbe così gentile da fornirmi anche solo un piccolo indizio per andare avanti?

Grazie anticpatamente!

[@melia]

In effetti, visto il calcolo che hai già fatto, avresti dovuto accorgertene da solo, comunque il suggerimento fondamentale è l'osservazione che
$2-sqrt3=1/(2+sqrt3)$

[naighes]

Ti ringrazio @melia, ma credo che ancora qualcosa mi sfugga.
Sostanzialmente, con il tuo suggerimento otterrei una cosa del genere:

$ (2+sqrt(3))^(x^2-2x)+(1/(2+sqrt(3)))^(x^2-2x)=101/10 $

Potrei, al limite, vederla anche nella seguente forma:

$ (2+sqrt(3))^(x^2-2x)+(2+sqrt(3))^(-x^2+2x)=101/10 $

Oppure, sempre se non vado errato, potrei arrivare a quest'altra forma:

$ (2+sqrt(3))^(x^2-2x)+1/(2+sqrt(3))^(x^2-2x)=101/10 $

Anche moltiplicando ambo i membri per $ (2+sqrt(3))^(x^2-2x) $, rimane sempre il membro di destra a rompere un pò le scatole!

[@melia]

Ponendo $(2+sqrt3)^(x^2-2x)=y$ l'esercizio diventa $y+1/y=101/10$, questo dovresti essere in grado di risolverlo.

[naighes]

Sì, @melia, avevo già adottato questa strada ed ero giunto al seguente risultato risolvendo l'equazione di secondo grado:

$(2+sqrt3)^(x^2-2x)=10$

$(2+sqrt3)^(x^2-2x)=1/10$

Anche in questo caso, però, rimane sempre il problema del secondo membro che non saprei proprio come trattare.
Anche portandolo alla forma logaritmica, con quella base, non credo che andrei molto lontano...

[@melia]

logaritmi, non vedo altra via, magari in base 10 o meglio in base $2+sqrt3$.

$log_(2+sqrt3) (2+sqrt3)^(x^2-2x)=log_(2+sqrt3) 10$...

[naighes]

Niente, @melia, non riesco a giungere a qualcosa che abbia ai miei occhi una parvenza di risolubilità!
Adottando la base $2+sqrt3$ ottengo:

$log_(2+sqrt3) (2+sqrt3)^(x^2-2x)=log_(2+sqrt3) 10$

Ho pensato, eventualmente, di portarmi fuori $x^2-2x$, ottenendo:

$(x^2-2x)log_(2+sqrt3) (2+sqrt3)=log_(2+sqrt3) 10$

E, conseguentemente:

$(x^2-2x)=log_(2+sqrt3) 10$

E quindi?

Anche in base $10$ non ho risultati migliori:

$log_(10) (2+sqrt3)^(x^2-2x)=log_(10) 10$

Quindi:

$log_(10) (2+sqrt3)^(x^2-2x)=1$

A me sembra anche peggio!

[@melia]

"naighes":
$(x^2-2x)=log_(2+sqrt3) 10$

E quindi?

È una banale equazione di secondo grado il cui termine noto è un po' uno schifo, niente di più.

[naighes]

Forse mi aspettavo che vi fosse modo di portarla in una forma, ehm, diciamo "migliore"!
Ok, comunque, per $y=10$:

$x^2-2x-log_(2+sqrt3)10=0$

$delta=4(1+log_(2+sqrt3)10)$

$x=1 \pm sqrt(1+log_(2+sqrt3)10)$

E per $y=1/10$:

$x^2-2x-log_(2+sqrt3)1/10=0$

$x^2-2x-(log_(2+sqrt3)1-log_(2+sqrt3)10)=0$

$x^2-2x+log_(2+sqrt3)10=0$

$delta=4(1-log_(2+sqrt3)10)$

$x=1 \pm sqrt(1-log_(2+sqrt3)10)$

Almeno in quest'ultima parte non credo di aver commesso eccessivi strafalcioni!
Grazie infinite per la tua disponibilità @melia!

[@melia]

La seconda equazione si ferma qui

"naighes":
$delta=4(1-log_(2+sqrt3)10)$

perché $(1-log_(2+sqrt3)10)<0$

[naighes]

Sì, giusto, mi era sfuggito.
Grazie @melia!

[@melia]

Prego, a presto, sperando che la prossima volta tu abbia dei calcoli più "umani".

[G3nd4rM31]

Ho seguito tutti il 3ed...alcuni passaggi mi mancano ma comunque ancora complimenti!!!

tipo....

"naighes":
Ho pensato, eventualmente, di portarmi fuori $x^2-2x$, ottenendo:

$(x^2-2x)log_(2+sqrt3) (2+sqrt3)=log_(2+sqrt3) 10$

E, conseguentemente:

$(x^2-2x)=log_(2+sqrt3) 10$

E quindi?

Grazie a tutti un saluto!

[naighes]

Ciao G3nd4rM3.
L'argomento del logaritmo contiene una esponenziale.
Puoi avvalerti della seguente proprietà dei logaritmi:

$log_m a^k=k log_m a$

Nel nostro caso, il $k$ è rappresentato da $x^2-2x$ che, come vedi, viene portato alla sinistra del logaritmo.
Ti torna adesso, oppure c'è qualche passaggio che ti rimane ancora oscuro?

PS. Il sistema di codifica delle formule sembra dare qualche problemino con Firefox.

[G3nd4rM31]

Si questa proprietà la conosco e ho ben capito come l hai applicata..mi manca il passsaggio seguente, perchè poi sparisce il log a sinistra?rimanendo solo quello di 10?

[naighes]

"G3nd4rM3":perchè poi sparisce il log a sinistra?rimanendo solo quello di 10?

Per questo motivo:

$log_(2+sqrt3) (2+sqrt3)=log_a a = 1$

Quindi:

$(x^2-2x)log_(2+sqrt3) (2+sqrt3)=log_(2+sqrt3) 10$

$(x^2-2x) ** 1=log_(2+sqrt3) 10$

$x^2-2x=log_(2+sqrt3) 10$

$x^2-2x-log_(2+sqrt3) 10=0$

Quest'ultima è l'equazione di secondo grado per la quale devi trovare le soluzioni.
Ti torna adesso?

[G3nd4rM31]

Assolutamente si!


Grazie 1000!

[naighes]

Figurati!
Casomai, ringrazia @melia!