Risoluzione di un'equazione con il metodo del punto unito
(E' il mio primo post, spero di essere chiara 
)
Ho la seguente equazione:
`cos(ln3x)` = `cos(2x^2)`
Che si sviluppa in:
`ln3x` = `+-2x^2` + `2kappapi`
E a questo punto, dopo aver posto `kappa` = `0` per semplificarla, il prof ha consigliato di usare il metodo del punto unito.
Solo che, seguendo le istruzioni del libro, non riesco a fare nulla.
Qualcuno può aiutarmi??
Grazie
)Ho la seguente equazione:
`cos(ln3x)` = `cos(2x^2)`
Che si sviluppa in:
`ln3x` = `+-2x^2` + `2kappapi`
E a questo punto, dopo aver posto `kappa` = `0` per semplificarla, il prof ha consigliato di usare il metodo del punto unito.
Solo che, seguendo le istruzioni del libro, non riesco a fare nulla.
Qualcuno può aiutarmi??
Grazie
Risposte
Risolto, diciamo.
In pratica è impossibile, non ci sono soluzioni!
In pratica è impossibile, non ci sono soluzioni!
Mi fa piacere che tu l'abbia risolto, ma noto che nessun altro è intervenuto: forse avevano la mia stessa difficoltà, e cioè non sapevano cosa fosse il metodo del punto unito. Per favore, vuoi spiegarmelo?
Il metodo del punto unito mi è nuovo. Piacerebbe sapere anch a me di che cosa si tratta. 
Si usa (come il metodo di bisezione) per risolvere, anche se in modo approssimativo, le equazioni non "comuni".
Esempio: `x^3 - x - 1= 0`
Il metodo del punto unito si usa quando l'equazione è posta in forma `x= g(x)`
Si definisce punto unito rispetto a una funzione `g(x)` ogni soluzone di `x= g(x)`
Per applicare questo metodo occore conoscere un intervallo in cui sia contenuta una e una sola soluzione di `x= g(x)` (solitamente questo intervallo si determina in modo grafico, scrivendo l'equazione data come un sistema di due equazioni "graficabili").
Per applicare questo metodo si assume come approssimazione iniziale la soluzione di `x= g(x)` un qualsiasi valore di `x_0`che appartiene all'intervallo precedentemente determinato; così, risolvendo l'equazione data, si avrà:
`x_1= g(x_0)` , `x_2=g(x_1)` , `x_3 = g(x_2)` , etc..
Si possono verificare tre casi:
1. I valori `x_0`, `x_1`, `x_2`, .. si avvicinano sempre di più ad un numero `c` contenuto nell'intervallo individuato
2. I valori `x_0`, `x_1`, `x_2`, .. si avvicinano sempre di più ad un numero `c` che non appartiene all'intervallo individuato. (In ogni caso potrebbe comunque essere una soluzione dell'equazione data, ma non quella che si cerca)
3. I valori `x_0`, `x_1`, `x_2`, .. non si avvicinano ad alcun numero. E in questo caso non vi è soluzione.
(ovviamente questa non è farina del mio sacco, ma del mio libro! )
In ogni caso spero di essere stata chiara..
Se avete altre curiosità basta chiedere!
Esempio: `x^3 - x - 1= 0`
Il metodo del punto unito si usa quando l'equazione è posta in forma `x= g(x)`
Si definisce punto unito rispetto a una funzione `g(x)` ogni soluzone di `x= g(x)`
Per applicare questo metodo occore conoscere un intervallo in cui sia contenuta una e una sola soluzione di `x= g(x)` (solitamente questo intervallo si determina in modo grafico, scrivendo l'equazione data come un sistema di due equazioni "graficabili").
Per applicare questo metodo si assume come approssimazione iniziale la soluzione di `x= g(x)` un qualsiasi valore di `x_0`che appartiene all'intervallo precedentemente determinato; così, risolvendo l'equazione data, si avrà:
`x_1= g(x_0)` , `x_2=g(x_1)` , `x_3 = g(x_2)` , etc..
Si possono verificare tre casi:
1. I valori `x_0`, `x_1`, `x_2`, .. si avvicinano sempre di più ad un numero `c` contenuto nell'intervallo individuato
2. I valori `x_0`, `x_1`, `x_2`, .. si avvicinano sempre di più ad un numero `c` che non appartiene all'intervallo individuato. (In ogni caso potrebbe comunque essere una soluzione dell'equazione data, ma non quella che si cerca)
3. I valori `x_0`, `x_1`, `x_2`, .. non si avvicinano ad alcun numero. E in questo caso non vi è soluzione.
(ovviamente questa non è farina del mio sacco, ma del mio libro!
)In ogni caso spero di essere stata chiara..
Se avete altre curiosità basta chiedere!
mmmm...forse ho capito. Grazie, ci ragionerò su. 
Grazie, è un metodo che non conoscevo; di solito i libri riportano altri metodi. Proverò ad applicarlo, confrontandolo con gli altri.
Come promesso, ho provato a usare il metodo del punto unito, e l'ho fatto proprio sull'equazione $ln 3x+2x^2=0$. Scrivendola nella forma $ln 3x=-2x^2$ e tracciando il grafico delle funzioni corrispondenti ai due membri si vede subito che c'è una e una sola soluzione, compresa fra 0 e 0,3333... (il valore effettivo è 0,28375...).
Cerchiamo ora a migliorarla col metodo del punto unito, riscrivendo l'equazione nella forma $x=\frac (-ln3x)(2x)$. Ho provato a partire dal valore 0,2, da 0,3 e da 0,33333: in tutti i casi trovo presto una $x_i$ non positiva e il calcolo non può continuare. Sono quindi possibili tre ipotesi:
1: io ho sbagliato i calcoli: ma li ho fatti tre volte
2: non esistono soluzioni perché non ci avviciniamo a nessun valore: ma la grafica dimostrava il contrario
3: il metodo vale poco, o almeno richiede condizioni aggiuntive per essere applicato: e questa mi sembra la vera conclusione
Cerchiamo ora a migliorarla col metodo del punto unito, riscrivendo l'equazione nella forma $x=\frac (-ln3x)(2x)$. Ho provato a partire dal valore 0,2, da 0,3 e da 0,33333: in tutti i casi trovo presto una $x_i$ non positiva e il calcolo non può continuare. Sono quindi possibili tre ipotesi:
1: io ho sbagliato i calcoli: ma li ho fatti tre volte
2: non esistono soluzioni perché non ci avviciniamo a nessun valore: ma la grafica dimostrava il contrario
3: il metodo vale poco, o almeno richiede condizioni aggiuntive per essere applicato: e questa mi sembra la vera conclusione
Sinceramente non ho avuto il tempo di provare ad applicarlo, ma il tuo post, gianmaria, mi ha me l'ha ricordato.
Io ho povato con la funzione di Salentina $x^3-x-1=0$.
Graficamente ho trovato il punto interno all'intervallo $1
Grazie
Io ho povato con la funzione di Salentina $x^3-x-1=0$.
Graficamente ho trovato il punto interno all'intervallo $1
Grazie
Purtroppo io, come voi, ho alcune difficoltà con questo metodo.
Per quanto riguarda l'equazione `x^3 - x - 1=0` (1)
il libro porta questa risoluzione:
`x^3 - x - 1=0 -> y = x^3 and y = x + 1`
La soluzione `c` sarà l'ascissa del punto di intersezione tra i due grafici, contenuta nell'intervallo `[1; 2]` : `1
Poniamo la (1) nella forma `x = g(x)`, ad esempio:
`x^3 - x - 1=0 -> x^3 = x + 1 -> x = root(3)(x+1)`
Si ha ora `g(x) = root(3)(x+1)`
Calcoliamo:
`x_1 = g(x_0) -> x_1 = root(3)(1,5+1) -> x_1 ~= 1,357209`
`x_2 = g(x_1) -> x_2 ~= 1,330861`
`x_3 = g(x_2) -> x_3 ~= 1,325884`
`x_4 = g(x_3) -> x_4 ~= 1,324939`
Si può perciò assumere
`c=1,32..`
Per quanto riguarda l'equazione `x^3 - x - 1=0` (1)
il libro porta questa risoluzione:
`x^3 - x - 1=0 -> y = x^3 and y = x + 1`
La soluzione `c` sarà l'ascissa del punto di intersezione tra i due grafici, contenuta nell'intervallo `[1; 2]` : `1
Poniamo la (1) nella forma `x = g(x)`, ad esempio:
`x^3 - x - 1=0 -> x^3 = x + 1 -> x = root(3)(x+1)`
Si ha ora `g(x) = root(3)(x+1)`
Calcoliamo:
`x_1 = g(x_0) -> x_1 = root(3)(1,5+1) -> x_1 ~= 1,357209`
`x_2 = g(x_1) -> x_2 ~= 1,330861`
`x_3 = g(x_2) -> x_3 ~= 1,325884`
`x_4 = g(x_3) -> x_4 ~= 1,324939`
Si può perciò assumere
`c=1,32..`
Grazie, effettivamente avevo sbagliato nell'impostare la successione. Riproverò con un altro esercizio.
"echi90":Suppongo che tu avessi impostato la successione con la formula $x=x^3-1$, ed effettivamente in questo caso non si trovano soluzioni: però chi ci vieta questa impostazione? Credo che sia giusta la mia ipotesi, secondo cui occorrono ulteriori condizioni. Se ben ricordo, anni fa avevo letto qualcosa su questo metodo, ma si limitava a dire che se la successione non si avvicinava ad un numero non si potevano trarre conclusioni.
Grazie, effettivamente avevo sbagliato nell'impostare la successione. Riproverò con un altro esercizio.
Non so se possono servire questi apputi in rete:
http://151.100.50.4/people/lamberti/SSI ... ione_4.pdf
http://math.unipa.it/~cvetro/metodi%20i ... 0fissi.pdf
http://151.100.50.4/people/lamberti/SSI ... ione_4.pdf
http://math.unipa.it/~cvetro/metodi%20i ... 0fissi.pdf
Si gianmaria, avevo usato $x=x^3-1$ perchè tra le due possibilità mi sembrava la più semplice. Ma in quel modo non ci si avvicina a nessun numero (anche solo vedendo la struttura della funzione lo si può intuire, si parla di una esponenziale cubica addirittura). Quindi, o manca una condizione di partenza, o magari bisogna andare a tentativi.
Non so quanto sia attendibile la fonte sinceramente ma ho letto che la funzione converge al punto zero se $|f'(x)|<1$
ripeto che non ne sono sicura.
Non so quanto sia attendibile la fonte sinceramente ma ho letto che la funzione converge al punto zero se $|f'(x)|<1$
ripeto che non ne sono sicura.
Grazie a Fioravante per le indicazioni; rispondono anche alla domanda "che basi ha il metodo?". Da una prima occhiata (non ho avuto il tempo per un esame approfondito e confesso di averne anche poca voglia) direi che il metodo porta sicuramente a un risultato se ci sono più soluzioni, se il numero iniziale è compreso fra due di esse e se non ci sono problemi relativi a campo di esistenza o discontinuità. In caso contrario non ci sono garanzie di successo: può funzionare, come nell'esempio riportato da Salentina, ma può anche non farlo, come negli altri riportati.
Continuo a preferire altri metodi: dal mio favorito della tangente (peccato che richieda l'analisi), a quello della corda (veloce, comprensibile con la sola analitica e applicabile senza neanche quella) fino a quello della bisezione (più lento, ma facile e sicuro). Giacché Salentina conosce quest'ultimo, il suo professore avrebbe fatto meglio a suggerirglielo al posto di quello del punto unito.
Continuo a preferire altri metodi: dal mio favorito della tangente (peccato che richieda l'analisi), a quello della corda (veloce, comprensibile con la sola analitica e applicabile senza neanche quella) fino a quello della bisezione (più lento, ma facile e sicuro). Giacché Salentina conosce quest'ultimo, il suo professore avrebbe fatto meglio a suggerirglielo al posto di quello del punto unito.
Grazie Giammaria per l'aiuto =)
Purtroppo sono solo al quarto anno di liceo e capisco solo i tre quarti di quello che hai scritto
Mi togli una curiosità? (anche se non vorrei sembrare una bambina curiosa..)
In cosa sei laureato per sapere così tanto?
P.S. Ovviamente grazie anche a tutti gli altri!!
Purtroppo sono solo al quarto anno di liceo e capisco solo i tre quarti di quello che hai scritto
Mi togli una curiosità? (anche se non vorrei sembrare una bambina curiosa..)
In cosa sei laureato per sapere così tanto?
P.S. Ovviamente grazie anche a tutti gli altri!!
Prego. Per il resto, forse ti deludo, ma la mia laurea è in fisica, e quindi anch'io capisco solo i tre quarti di quanto scrivono i matematici; mi piace però curiosare in vari campi.
Approfitto di questo intevento per ritirare buona parte di quanto scritto nell'ultimo: il metodo è applicabile solo con condizioni più complesse di quelle che ho detto (all'incirca quanto indicato da Echi90). La verifica che sussistano non è breve, e si fa molto più in fretta ad applicarlo direttamente: se la successione converge abbiamo una risposta, altrimenti il metodo non dà soluzioni (il che non vuol dire che non esistano).
Approfitto di questo intevento per ritirare buona parte di quanto scritto nell'ultimo: il metodo è applicabile solo con condizioni più complesse di quelle che ho detto (all'incirca quanto indicato da Echi90). La verifica che sussistano non è breve, e si fa molto più in fretta ad applicarlo direttamente: se la successione converge abbiamo una risposta, altrimenti il metodo non dà soluzioni (il che non vuol dire che non esistano).
allora...in breve...per risolvere il problema si utilizza una serie; questo ci fornisce un risultato solo quando la serie è convergente. Il teorema del punto unito (così ci è stato presentato a lezione), dice che se la derivata prima della funzione che chiamate g(x) è compresa tra -1 e 1(in realtà recita: se il modulo di g'(x) è minore di k con k appartenente a (0,1)), questa è convergente, e la soluzione dell'equazione è proprio la x a cui tende la nostra serie, e questa soluzione è unica (teorema di esistenza e unicità). Dunque nell'ultimo caso (poichè g è continua e derivabile ed il teorema sopracitato è soddisfatto) si arriva a "felice conclusione".
Per entrare più nel dettaglio, se la derivata è maggiore di zero (e minore di 1) si ha una serie monotona crescente, che può approssimare la nostra soluzione per eccesso o per difetto (o esclusivo). Se invece la funzione g ha derivata negativa la funzione è monotona decrescente, quindi sfruttando il criterio di Liebniz ci accorgiamo che l'approssimazione è una volta per eccesso e una volta per difetto.
Teoricamente la serie prosegue all'infinito...sta a noi decidere la sensibilità del calcolo, cioè la dimensione dell'errore. Se scegliamo una sensibilità diciamo 10^3, quando il calcolatore trova un numero con precisione superiore, si interrompe e fornisce come risultato l'ultimo risultato.
spero di essere stato chiaro
Per entrare più nel dettaglio, se la derivata è maggiore di zero (e minore di 1) si ha una serie monotona crescente, che può approssimare la nostra soluzione per eccesso o per difetto (o esclusivo). Se invece la funzione g ha derivata negativa la funzione è monotona decrescente, quindi sfruttando il criterio di Liebniz ci accorgiamo che l'approssimazione è una volta per eccesso e una volta per difetto.
Teoricamente la serie prosegue all'infinito...sta a noi decidere la sensibilità del calcolo, cioè la dimensione dell'errore. Se scegliamo una sensibilità diciamo 10^3, quando il calcolatore trova un numero con precisione superiore, si interrompe e fornisce come risultato l'ultimo risultato.
spero di essere stato chiaro
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