Risoluzione di un triangolo isoscele
Un saluto a tutti.
"Risolvere un triangolo isoscele nota la base $a = cm 16$ e l'area $S = cm^2 (64sqrt(3))/3$".
Non risolvo un triangolo isoscele dai tempi delle elementari, quando bisognava solo trovare i cateti, base e altezza.
Ho rivisto le formule per questo tipo di triangolo e la prima che ho scritto, non avendo i lati, ma solo la base è:
$A = (b * h)/2$.
Ho quindi ricavato $h$ con la seguente formula: $h = (2*A)/a$, quindi $(2(64sqrt(3)))/(3)/(16) = (128sqrt(3))/3 * 1/16 = (8sqrt(3))/3$.
Quindi ho ricavato $b$ tramite il teorema di Pitagora, così: $sqrt((a/2)^2 + h^2) = sqrt(64 + 64) = sqrt(128)$ e mi è rimasto così, ma sono insicuro.
Adesso non so come ricavare, premesso che sia giusto il procedimento sopra, i tre angoli $Alfa$, $beta$ e $gamma$.
Qualcuno gentilmente potrebbe aiutarmi?
"Risolvere un triangolo isoscele nota la base $a = cm 16$ e l'area $S = cm^2 (64sqrt(3))/3$".
Non risolvo un triangolo isoscele dai tempi delle elementari, quando bisognava solo trovare i cateti, base e altezza.
Ho rivisto le formule per questo tipo di triangolo e la prima che ho scritto, non avendo i lati, ma solo la base è:
$A = (b * h)/2$.
Ho quindi ricavato $h$ con la seguente formula: $h = (2*A)/a$, quindi $(2(64sqrt(3)))/(3)/(16) = (128sqrt(3))/3 * 1/16 = (8sqrt(3))/3$.
Quindi ho ricavato $b$ tramite il teorema di Pitagora, così: $sqrt((a/2)^2 + h^2) = sqrt(64 + 64) = sqrt(128)$ e mi è rimasto così, ma sono insicuro.
Adesso non so come ricavare, premesso che sia giusto il procedimento sopra, i tre angoli $Alfa$, $beta$ e $gamma$.
Qualcuno gentilmente potrebbe aiutarmi?
Risposte
Non risolvo un triangolo isoscele dai tempi delle elementari, quando bisognava solo trovare i cateti
Non facciamo confusione, i cateti riguardano i triangoli rettangoli e basta.
Quindi ho ricavato $b$ tramite il teorema di Pitagora, così: $sqrt((a/2)^2 + h^2) = sqrt(64 + 64) = sqrt(128)$ e mi è rimasto così, ma sono insicuro.
Aspetta, tu stai ricavando $b$, ma $b$ è la base, se non vado errato. La base già la hai, perché cercare di ricavarla?
Charisci questo dubbio, poi andiamo avanti.
Ciao.
Ahh aspetta, penso che con $b$ successivamente hai inteso l'altro lato. Cerca di evitare, prossimamente, di chiamare conla stessa lettera due diverse entità 
A questo punto hai trovato tutti i lati.
Per gli angoli potresti procedere usando i teoremi sui triangoli rettangoli, applicandoli a metà triangolo isoscele.
Infatti se consideri il triangolo rettangolo formato da altezza, metà base e lato, puoi dire che l'angolo alla base è legato con gli elementi che già hai da questa relazione
$h=b/2 tantheta$
Oppure puoi sfruttare la formula dell'area.
Sai che l'area vale $64sqrt3/3$ ma sai anche che
$A=1/2ab\sintheta$ da cui $1/2ab\sintheta=64sqrt3/3$, e siccome conosci $a$ e $b$ ricavi $sintheta$
Ciao.
A questo punto hai trovato tutti i lati.
Per gli angoli potresti procedere usando i teoremi sui triangoli rettangoli, applicandoli a metà triangolo isoscele.
Infatti se consideri il triangolo rettangolo formato da altezza, metà base e lato, puoi dire che l'angolo alla base è legato con gli elementi che già hai da questa relazione
$h=b/2 tantheta$
Oppure puoi sfruttare la formula dell'area.
Sai che l'area vale $64sqrt3/3$ ma sai anche che
$A=1/2ab\sintheta$ da cui $1/2ab\sintheta=64sqrt3/3$, e siccome conosci $a$ e $b$ ricavi $sintheta$
Ciao.
"Steven":
Ahh aspetta, penso che con $b$ successivamente hai inteso l'altro lato. Cerca di evitare, prossimamente, di chiamare conla stessa lettera due diverse entità
.
Se leggi bene all'inizio, capisci che ho scritto che la base $a$ è uguale a 16 cm. con $b$ successivamente ho inteso altro.
Per il resto adesso provo a eseguire i passaggi che mi hai consigliato..
Ti ringrazio per la risposta.
Scusami, ma non riesco a seguire correttamente i tuoi passaggi; anzi, non riesco a comprenderli.
Se io ho i due lati, o meglio, considerando metà triangolo isoscele e quindi uno dei triangoli rettangoli formati, avendo altezza (cateto b, altezza h) e ipotenusa, non posso calcolare il $sinbeta$ così: $beta = arcsinbeta b/a = ((8sqrt(3))/(3))/(8)$ ?
Non sono in possesso di una calcolatrice scientifica, quindi non ho idea di quale sia il valore ottenuto.
Se io ho i due lati, o meglio, considerando metà triangolo isoscele e quindi uno dei triangoli rettangoli formati, avendo altezza (cateto b, altezza h) e ipotenusa, non posso calcolare il $sinbeta$ così: $beta = arcsinbeta b/a = ((8sqrt(3))/(3))/(8)$ ?
Non sono in possesso di una calcolatrice scientifica, quindi non ho idea di quale sia il valore ottenuto.
"Feuerbach":
Se io ho i due lati, o meglio, considerando metà triangolo isoscele e quindi uno dei triangoli rettangoli formati, avendo altezza (cateto b, altezza h) e ipotenusa, non posso calcolare il $sinbeta$ così: $beta = arcsinbeta b/a = ((8sqrt(3))/(3))/(8)$ ?
Ok. Se hai indicato con $b$ metà base e $a$ il lato restante, allora il $beta$ che hai trovato è metà dell'angolo al vertice.
L'angolo alla base puoi trovarlo perchè sai che la somma tra questo e $beta$ vale novanta gradi, visto che sono gli angoli acuti di un triangolo rettangolo.
Non sono in possesso di una calcolatrice scientifica, quindi non ho idea di quale sia il valore ottenuto.
Io lascerei anche sotto forma di arcoseno.
O sennò usa la calcolatrice di Windows (se usi questo sistema operativo), che ha anche le funzioni inverse arcoseno, arcocoseno ecc.
Ciao.
$a=16 \ \wedge \ S=\frac{64\sqrt{3}}{3} \ => h=\frac{2*A}{a}=\frac{2*\frac{64\sqrt{3}}{3}}{16}=\frac{128\sqrt{3}}{3}*\frac{1}{16}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$
$b=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2}=\sqrt{8^2 + (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2}=\sqrt{64 + \frac{64}{9}3}=\sqrt{64 + \frac{64}{3}}=\sqrt{\frac{64*4}{3}}=\frac{8*2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{3}\sqrt{3}$
$h=b * sen\theta \ => \ sen\theta=\frac{h}{b}=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{\frac{16}{3}\sqrt{3}}=\frac{8}{3}\sqrt{3}*\frac{3}{16}*\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2} \ => \ \theta=30°=\frac{\pi}{6}$
$b=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2}=\sqrt{8^2 + (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2}=\sqrt{64 + \frac{64}{9}3}=\sqrt{64 + \frac{64}{3}}=\sqrt{\frac{64*4}{3}}=\frac{8*2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{3}\sqrt{3}$
$h=b * sen\theta \ => \ sen\theta=\frac{h}{b}=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{\frac{16}{3}\sqrt{3}}=\frac{8}{3}\sqrt{3}*\frac{3}{16}*\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2} \ => \ \theta=30°=\frac{\pi}{6}$
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