Risoluzione di un limite con esponenziale e funzioni goniometriche

[mtg34]

Salve a tutti , vi chiedo gentilmente se mi aiutereste a risolvere questo limite :
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{(\sin4x)}-1}{\ln(1+\tan x)}\)
Vi ringrazio in anticipo

[Shocker1]

Ciao

Dove ti blocchi? Posta qualche tuo tentativo


Ciaociao

[mateforever.tanzini]

Ciao Mtg34,
Per prima cosa, anche solo per rendere la funzione più "appetibile" farei queste considerazioni:
$ sin(4x) = 4x $ nell'intorno di 0
$ tanx=x $ sempre nell'intorno di 0

Ergo, con un bel balzo indietro di difficoltà il problema diventa di trovare il limite della funzione $ (e^(4x)-1)/(ln(x+1)) $

[mateforever.tanzini]

Ora come saprai ti nasterà valutare la derivata di $ e^(4x)-1$ e di $ln(x+1)$ su 0 e farne il rapporte proprio perchè in quell'intorno le due funzioni sono uguali alle loro derivate

[Shocker1]

"Fegerap":Ora come saprai ti nasterà valutare la derivata di $ e^(4x)-1$ e di $ln(x+1)$ su 0 e farne il rapporte proprio perchè in quell'intorno le due funzioni sono uguali alle loro derivate

Perché applicare De L'Hopital?

$lim_(x->0) (e^(4x) - 1)/ln(x+1) = lim_(x->0) (e^(4x) - 1)/(4x) * (4x)/ln(x+1) = 4 * lim_(x->0) (e^(4x) - 1)/(4x) * x/ln(x+1) = 4 * 1 * 1 = 4$

[mateforever.tanzini]

beh sì hai ragione Shocker, utilizzando i limiti notevoli è più facile (che comunque sono ricavati dal nostro amico Hopi)

[minomic]

Ciao,
dubito che alcuni professori vedrebbero di buon occhio le semplificazioni introdotte da Fegerap... Si può invece riscrivere tutto come segue:
\[
\frac{e^{\sin 4x}-1}{\sin 4x}\cdot\frac{\tan x}{\ln\left(1+\tan x\right)}\cdot \frac{\sin 4x}{4x}\cdot \cos x\cdot 4\cdot \frac{x}{\sin x}
\] Facendo due calcoli si nota che non ho cambiato nulla: ho solo moltiplicato e diviso per le stesse quantità. A questo punto, passando al limite otteniamo
\[
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 4\cdot 1 = 4
\]

[donald_zeka]

$lim_(x->0) (e^(sin4x)-1)/ln(1+tanx)$

Moltiplica e dividi per $x*4x*sin(4x)*tan(x)$

$lim_(x -> 0) (x*4x*sin(4x)*tan(x)*(e^(sin(4x))-1))/(x*4x*sin(4x)*tan(x)*ln(1+tan(x))$

Ottieni $4$ limiti notevoli.

[mtg34]

Ragazzi grazie a tutti davvero siete stati gentilissimi!