Risoluzione di un integrale
Ciao a tutti, c'è un integrale che non riesco a risolvere, vi chiedo se potreste darmi una mano nella risoluzione:
[tex]\int_{}^{} x^2/(1+x^4)\, dx[/tex]
ho applicato il metodo di sostituzione:
[tex]x^2 = t \Rightarrow x = \sqrt(t) \Rightarrow x^4 = t^2 \Rightarrow dx = D(\sqrt(t)) = 1/(2*\sqrt(t))*dt[/tex]
solo che così facendo nell'integrale ottengo la radice di t e non riesco ad andare avanti.
Potreste aiutarmi?
Grazie.
[tex]\int_{}^{} x^2/(1+x^4)\, dx[/tex]
ho applicato il metodo di sostituzione:
[tex]x^2 = t \Rightarrow x = \sqrt(t) \Rightarrow x^4 = t^2 \Rightarrow dx = D(\sqrt(t)) = 1/(2*\sqrt(t))*dt[/tex]
solo che così facendo nell'integrale ottengo la radice di t e non riesco ad andare avanti.
Potreste aiutarmi?
Grazie.
Risposte
prova un altro metodo di risoluzione...
Sostituire direttamente $x^2=t$ già a occhio sembra un pò troppo immediata come soluzione
Sostituire direttamente $x^2=t$ già a occhio sembra un pò troppo immediata come soluzione
Scomponi il denominatore.
sinceramente non so come scomporlo essendo somma di postivi. Ho provato a mettere in evidenzia la [tex]x^2[/tex] e viene:
[tex]\int_{}^{} 1/(1/x^2 + x^2)\, dx[/tex] e sinceramente sono bloccato non so come proseguire.
[tex]\int_{}^{} 1/(1/x^2 + x^2)\, dx[/tex] e sinceramente sono bloccato non so come proseguire.
se sostituisci $ (x)^(2) $ = t e moltiplici e dividi per 2 ottieni un numeratore che è la derivata del denominatore e percio l'integrale dovrebbe essere il logaritmo della funzione denominatore.
"OverRun":
[tex]x^2 = t \Rightarrow x = \sqrt(t) \Rightarrow x^4 = t^2 \Rightarrow dx = D(\sqrt(t)) = 1/(2*\sqrt(t))*dt[/tex]
solo che così facendo nell'integrale ottengo la radice di t e non riesco ad andare avanti.
Potreste aiutarmi?
Grazie.
A quel punto $\int 1/(2sqrt(t))*dt$
puoi scriverlo così, se ti viene più congeniale:
$1/2*\int t^(-1/2)dt$
così lo sai fare vero?
scrittore, non ti capisco: io non ottengo il tuo integrale.
Buono invece il suggerimento di @melia: $x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1+sqrt 2 x)(x^2+1-sqrt 2 x)$
Buono invece il suggerimento di @melia: $x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1+sqrt 2 x)(x^2+1-sqrt 2 x)$
chiedo scusa! Evidentemente ho interpretato male le ugualianze scritte da OverRun nel post che ho quotato
boh non riesco a risolvere, ho abbandonato ormai l'esercizio.
Effettivamente i calcoli sono lunghi; ti indico solo il metodo per iniziare. Dopo aver scomposto il denominatore nel modo precedentemente indicato, poni
$(ax+b)/(x^2+sqrt 2 x+1)+(cx+d)/(x^2-sqrt 2 x+1)=(x^2)/(x^4+1)$
e determini i coefficienti $a,b,c,d$ col principio di identità dei polinomi; poi devi ancora integrare ciascuna delle due frazioni (e non è immediato).
$(ax+b)/(x^2+sqrt 2 x+1)+(cx+d)/(x^2-sqrt 2 x+1)=(x^2)/(x^4+1)$
e determini i coefficienti $a,b,c,d$ col principio di identità dei polinomi; poi devi ancora integrare ciascuna delle due frazioni (e non è immediato).
ok ho capito ti ringrazio. tutto stava nel scomporre il denominatore.
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