Risoluzione 3 questionari compito in classe

[M&C88]

Oggi ho avuto il compito in classe potete dirmi le soluzioni e i passaggi per arrivare ad esse di questi questionari per vedere se ho fatto bene?grazie allora sono i seguenti

1)Di una funzione f(x) si sa che la derivata seconda è uguale a 2^x(2 alla x,l'esponenziale per capirci),che f'(0)=0 e che f(0) è uguale a 1 fratto logaritmo in base 2 al quadrato.Qual è f(x)

2)Dimostrare che l'equazione x^5 +10x+1 ammette una ed una sola soluzione

3)Considerare la funzione f(x)=x+e^x e dire se è invertibile e,applicando il teorema della derivata inversa,calcolare g'(1). (PS nel compito al posto di g c'era il simbolo di phi)

Grazie per le risposte

[cozzataddeo]

"M&C88":

1)Di una funzione f(x) si sa che la derivata seconda è uguale a 2^x(2 alla x,l'esponenziale per capirci),che f'(0)=0 e che f(0) è uguale a 1 fratto logaritmo in base 2 al quadrato.Qual è f(x)

f(0) è uguale al logaritmo quadrato in base due...di che cosa?

Comunque hai

f''(x) = 2^x

e integrando una volta risulta

f'(x) = (2^x)/ln2+k1

e integrando una seconda volta si ha

f(x) = 2^x/(ln2)^2+k1*x+k2

dove ln2 indica il logaritmo in base e di 2 e k1 e k2 sono le costanti di integrazione da determinare imponendo le condizioni date dall'esercizio, ovvero

f'(0)=0 -> 2^0/ln2+k1=0; k1 = -1/ln2

f(0)=... -> 2^0/(ln2)^2-1/ln2*0+k2=...

"M&C88":
2)Dimostrare che l'equazione x^5 +10x+1 ammette una ed una sola soluzione

f(x) = x^5+10x+1

f(-1) = -1-10+1 = -10

f(2) = 1+10+1 = 12

quindi, per il teorema degli zeri, f(x) si annulla ALMENO una volta all'interno dell'intervallo [-1;1]. Calcolando la derivata prima si ha

f'(x) = 5x^4+10 > 0 per ogni x appartenente ai numeri reali

perciò f(x) è monotona crescente e quindi si annulla AL MASSIMO una sola volta. Si conclude che f(x) si annulla una e una sola volta.

"M&C88":
3)Considerare la funzione f(x)=x+e^x e dire se è invertibile e,applicando il teorema della derivata inversa,calcolare g'(1). (PS nel compito al posto di g c'era il simbolo di phi)

La funzione è continua su tutti i numeri reali e calcolando la derivata prima si ha

f'(x) = 1+e^x > 0 per ogni x appartenente ai numeri reali

quindi la funzione è continua e monotona crescente su R e perciò invertibile su R.
La derivata dell'inversa è il reciproco della derivata della funzione diretta

g'(1) = 1/f'(1) = 1/(1+e^1) = 1/(1+e)