[RISOLTO]Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno
salve a tutti,
mi aiutereste a risolvere questo problemino di trigonometria?
In un trapezio scaleno ABCD le basi misurano: \(\displaystyle \overline{AB}=5\sqrt{3}+21 \) e \(\displaystyle \overline{CD}=9 \). Sapendo che l'angolo in B è 60° e che \(\displaystyle \cos{\hat{D}}=-\frac{5}{13} \) calcola la lunghezza dei lati obliqui.
Si deve far uso dei teoremi del seno e il teorema di Carnot.
SVOLGIMENTO
A qualcosa servirà quel coseno, no? Applico il teorema di Carnot ai triangoli ACD e ABC rispettivamente:
Posto y=AD (lato obliquo sinistra), x=CB (lato obliquo a destra)
1) \(\displaystyle AC^2=AD^2 + CD^2 -2\cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\hat{D}} =y^2 + 81 -2\cdot 9 \cdot y \cdot (\cos{ \hat{D}})=y^2+\dfrac{90}{13}y + 81\)
2)\(\displaystyle AC^2=CB^2+AB^2-2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos{60}=x^2 + (5\sqrt{3}+21)^2 - 2(5\sqrt{3}+21)\cdot\dfrac{1}{2}x= \)
\(\displaystyle =x^2 -(5\sqrt{3}+21)^2 -(5\sqrt{3}+21)x \)
Poi come posso procedere? Se eguaglio queste due espressioni ottengo una espressione con 2 incognite di secondo grado...
mi aiutereste a risolvere questo problemino di trigonometria?
In un trapezio scaleno ABCD le basi misurano: \(\displaystyle \overline{AB}=5\sqrt{3}+21 \) e \(\displaystyle \overline{CD}=9 \). Sapendo che l'angolo in B è 60° e che \(\displaystyle \cos{\hat{D}}=-\frac{5}{13} \) calcola la lunghezza dei lati obliqui.
Si deve far uso dei teoremi del seno e il teorema di Carnot.
SVOLGIMENTO
A qualcosa servirà quel coseno, no? Applico il teorema di Carnot ai triangoli ACD e ABC rispettivamente:
Posto y=AD (lato obliquo sinistra), x=CB (lato obliquo a destra)
1) \(\displaystyle AC^2=AD^2 + CD^2 -2\cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\hat{D}} =y^2 + 81 -2\cdot 9 \cdot y \cdot (\cos{ \hat{D}})=y^2+\dfrac{90}{13}y + 81\)
2)\(\displaystyle AC^2=CB^2+AB^2-2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos{60}=x^2 + (5\sqrt{3}+21)^2 - 2(5\sqrt{3}+21)\cdot\dfrac{1}{2}x= \)
\(\displaystyle =x^2 -(5\sqrt{3}+21)^2 -(5\sqrt{3}+21)x \)
Poi come posso procedere? Se eguaglio queste due espressioni ottengo una espressione con 2 incognite di secondo grado...
Risposte
L'altezza del trapezio è data da: CH = $xsin60=sqrt3/2x$
Essa è anche: CH = $ysin(180-D)=ysinD=12/13y$
Ora dovresti farcela...
Essa è anche: CH = $ysin(180-D)=ysinD=12/13y$
Ora dovresti farcela...
"MaMo":
CH =\(\displaystyle y \cdot \sin(180−D)=y \; \sin{D}=\frac{12}{13}y \)
Non capisco perché \(\displaystyle CH=y \cdot \sin(180−D)\). Perché $\sin(180 -\hat{D})$? Quale triangolo stai considerando?
I risultati suggeriti dal libro sono $24$ e $13\sqrt{3}$. Ho provato ad inserire l'ultimo passaggio (l'equaz di 2° grado in x quadro) nel sito di Wolfram, perché i numeri erano esageratamente grandi ma le due radici vengono diverse da quelle suggerite dal libro... O ho fatto un errore di calcolo oppure CH$=12/13y$ non è azzeccato.
A me le due radici vengono esatte. (hai sbagliato un segno nella seconda equazione di AC)
P.S. Ho considerato il triangolo rettangolo esterno ADK.
P.S. Ho considerato il triangolo rettangolo esterno ADK.
Ok, adesso mi viene.
Comunque alla fine, risolvendo tutto in "x" si arriva a:
$-23/192 x^2 +(15/4 \sqrt{3}+5\sqrt{3}+21)x+81-(5\sqrt{3}+21)^2=0$
Io l'ho fatto fare a Wolfram...
Grazie.
Comunque alla fine, risolvendo tutto in "x" si arriva a:
$-23/192 x^2 +(15/4 \sqrt{3}+5\sqrt{3}+21)x+81-(5\sqrt{3}+21)^2=0$
Io l'ho fatto fare a Wolfram...
Grazie.
vittorino70, grazie per la soluzione lineare. Come l'hai fatto tu, è semplice, non serve nemmeno risolvere l'equazione di 2°grado! Soluzione semplice e alla portata di tutti.
Grazie mille.
-ciao, ciao!
Grazie mille.
-ciao, ciao!
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