Riformulare un asserzione
Considerata la seguente asserzione :
Il lemma è vero se per ogni $m|a$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
Vorrei riscriverla in modo tale da evidenziare che $m$ sia $>=1$ e ,inoltre, cercare una riformulazione equivalente .
E’ corretto riscriverlo , per evidenziare che $m$ sia $>=1$ , come segue :
Il lemma è vero se per ogni $1<= m|a$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
Ed è corretto riscriverlo , per cercare una riformulazione equivalente , cosi :
Il lemma è vero se per ogni $a$ multiplo di $m>=1$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
La sua riformulazione equivalente , qualora sia ok , può essere scritta formalmente in modo migliore ?
Il lemma è vero se per ogni $m|a$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
Vorrei riscriverla in modo tale da evidenziare che $m$ sia $>=1$ e ,inoltre, cercare una riformulazione equivalente .
E’ corretto riscriverlo , per evidenziare che $m$ sia $>=1$ , come segue :
Il lemma è vero se per ogni $1<= m|a$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
Ed è corretto riscriverlo , per cercare una riformulazione equivalente , cosi :
Il lemma è vero se per ogni $a$ multiplo di $m>=1$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
La sua riformulazione equivalente , qualora sia ok , può essere scritta formalmente in modo migliore ?
Risposte
Di preciso, qual è il lemma?
P.S.
Si scrive un'asserzione e non un asserzione.
P.S.
Si scrive un'asserzione e non un asserzione.
Grazie WiZaRd ;
il lemma è :
Sia $a$ un naturale positivo ;
$a$ può scriversi nel modo $z$ , con $b,c in NN$ , solo e solo se esiste un naturale $m>=1$
tale che $m|a$
il lemma è :
Sia $a$ un naturale positivo ;
$a$ può scriversi nel modo $z$ , con $b,c in NN$ , solo e solo se esiste un naturale $m>=1$
tale che $m|a$
Convenendo che \(\mathbb{N}_{0}\) sia l'insieme dei numeri naturali compreso lo \(0\) e che \(\mathbb{N}\) sia l'insieme dei numeri naturali senza lo \(0\), supponendo che la locuzione \(a\) può scriversi nel modo \(z\), con \(b,c \in \mathbb{N}\) significhi che \(a=z=f(b,c)\) (ovvero che \(a\) può essere riscritto come una qualche espressione con \(b\) e \(c\)), quel lemma può essere riscritto, per esempio, così:
\[
\forall a \in \mathbb{N}, \left( \left( \exists b,c \in \mathbb{N} : a=f(b,c)\right) \iff \left( \exists m \in \mathbb{N} : m \geqslant 1 \land m \mid a\right)\right)
\]
senza voler esagerare nel formalismo simbolico.
\[
\forall a \in \mathbb{N}, \left( \left( \exists b,c \in \mathbb{N} : a=f(b,c)\right) \iff \left( \exists m \in \mathbb{N} : m \geqslant 1 \land m \mid a\right)\right)
\]
senza voler esagerare nel formalismo simbolico.
Innanzitutto : grazie 
Posso chiederti se queste due affermazioni sono equivalenti :
1)Il lemma è vero se per ogni $a$ multiplo di $m>=1$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
2)Il lemma è vero se per ogni $1<= m|a$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
e se alla luce del lemma di scritto nel precedente mio post sono "coerenti"
Ancora (scusa se approfitto per erudirmi un pò) mi dici come si legge letteralmente quello che hai scritto ?
soprattutto che significa e come si legge (suppongo che sia un simbolo logico) $iff$ ?
Graziee e scusami , Susannap.
Posso chiederti se queste due affermazioni sono equivalenti :
1)Il lemma è vero se per ogni $a$ multiplo di $m>=1$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
2)Il lemma è vero se per ogni $1<= m|a$ $ EE b,c in NN$ tale che $a$ può scriversi nel modo $z$
e se alla luce del lemma di scritto nel precedente mio post sono "coerenti"
Ancora (scusa se approfitto per erudirmi un pò) mi dici come si legge letteralmente quello che hai scritto ?
soprattutto che significa e come si legge (suppongo che sia un simbolo logico) $iff$ ?
Graziee e scusami , Susannap.
Ci sono alcune cose da chiarire a proposito del tuo ultimo post: commetti degli errori di impostazione.
Cominciamo col dire che il lemma è:
Nel momento in cui dici
oppure
non stai dicendo molto: stai dicendo qualcosa che è banale e incompleto, ma non sbagliato (del tutto).
Stai dicendo qualcosa di incompleto perché il contenuto di quel lemma è che
(1) se esiste un divisore di \(a\) allora \(a\) può essere riscritto in funzione di due opportuni naturali \(b\) e \(c\)
e anche che
(2) se esistono degli opportuni naturali \(b\) e \(c\) in funzione dei quali \(a\) può essere riscritto, allora esiste un divisore di \(a\)
dunque per completezza il lemma è vero se (1) e se (2). Anche qui non stiamo dicendo molto: stiamo facendo un disceso circolare, non stiamo facendo altro che chiarire il lemma, non stiamo facendo altro che sciogliere quel "se e solo se" del lemma. Quindi quando dici quanto ho quotato del tuo ultimo post dici una cosa incompleta e circolare, banale, tautologia. È come prendere il seguente risultato di geometria elementare
Teorema. Un triangolo è isoscele se e solo se gli angoli alla base sono congruenti.
e dire:
1. il teorema è vero se dato un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti;
2. il teorema è vero se dato un triangolo con gli angoli alla base congruenti, esso è isoscele;
3. il teorema è vero se dato un triangolo isoscele allora gli angoli alla base sono congruenti e se dato un triangolo con gli angoli alla base congruenti allora esso è isoscele.
In 1 sto dicendo una cosa incompleta, in 2 anche e in 3 sto dicendo una cosa completa, corretta ma, di fatto, inutile perché ovvia, essendo null'altro che la presentazione sciolta del teorema.
Diciamo che fare un discorso del genere è utile se si vuole chiarire a chi ci ascolta o ci legge cosa stiamo per fare nella dimostrazione (ovvero una cosa del tipo "Ragazzi per dimostrare che quel lemma è vero è necessario che siano provati (1) e (2)"), ma null'altro: se lo dici a un insegnante il commento più ovvio che ne può seguire è "E grazie tante!".
Per quanto riguarda la lettura di quello che ho scritto, non si legge in alcun modo particolare: \(\forall\) è il quantificatore universale e si legge per ogni e \(\iff\) è un connettivo logico che rappresenta l'equivalenza logica di due predicati e si legge se e solo se o anche è equivalente a; gli altri simboli li hai già usati, quindi suppongo che tu sappia come vanno letti. Ergo quello che ho scritto si legge per ogni \(a\) appartenente a \(\mathbb{N}_{0}\), esistono degli elementi \(b\) e \(c\) di \(\mathbb{N}\) tali che \(a=f(b,c)\) se e solo se esiste un elemento \(m\) di \(\mathbb{N}\) tale che \(m \geqslant 1\) e \(m \mid a\).
Per quanto riguarda l'equivalenza delle due espressioni (quelle che ho quotato dal tuo ultimo post) in sé, ovviamente l'una vale l'altra: sono esattamente la stessa cosa, solo sono scritte con simbolismi diversi nel senso che un simbolismo (il secondo) sintetizza l'altro (il primo) e, a dire il vero, lo fa anche in un modo un pochino barbaro, nel senso che non si capisce più la questione inizia con \(a\) o con \(m\) (o almeno a me da questa impressione).
P.S.
Curiosità tutta personale: a che serve questo lemma? Lo chiedo perché è banale che un numero naturale abbia dei divisori, così come è banale che possa essere riscritto in funzione di altri due generici ma opportuni numeri naturali.
Cominciamo col dire che il lemma è:
Sia \(a\) un numero naturale \(\neq 0\); allora \(a\) può essere riscritto in funzione di opportuni \(b,c \in \mathbb{N}\) se e solo se esiste un numero naturale \(m \geqslant 1\) tale che \(m \mid a\).
Nel momento in cui dici
Il lemma è vero se per ogni \(a\) multiplo di \(m \geqslant 1\) \(\exists b,c \in \mathbb{N}\) tale che \(a\) può scriversi nel modo \(z\)
oppure
Il lemma è vero se per ogni \(1 \leqslant m \mid a\) \(\exists b,c \in \mathbb{N}\) tale che \(a\) può scriversi nel modo \(z\)
non stai dicendo molto: stai dicendo qualcosa che è banale e incompleto, ma non sbagliato (del tutto).
Stai dicendo qualcosa di incompleto perché il contenuto di quel lemma è che
(1) se esiste un divisore di \(a\) allora \(a\) può essere riscritto in funzione di due opportuni naturali \(b\) e \(c\)
e anche che
(2) se esistono degli opportuni naturali \(b\) e \(c\) in funzione dei quali \(a\) può essere riscritto, allora esiste un divisore di \(a\)
dunque per completezza il lemma è vero se (1) e se (2). Anche qui non stiamo dicendo molto: stiamo facendo un disceso circolare, non stiamo facendo altro che chiarire il lemma, non stiamo facendo altro che sciogliere quel "se e solo se" del lemma. Quindi quando dici quanto ho quotato del tuo ultimo post dici una cosa incompleta e circolare, banale, tautologia. È come prendere il seguente risultato di geometria elementare
Teorema. Un triangolo è isoscele se e solo se gli angoli alla base sono congruenti.
e dire:
1. il teorema è vero se dato un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti;
2. il teorema è vero se dato un triangolo con gli angoli alla base congruenti, esso è isoscele;
3. il teorema è vero se dato un triangolo isoscele allora gli angoli alla base sono congruenti e se dato un triangolo con gli angoli alla base congruenti allora esso è isoscele.
In 1 sto dicendo una cosa incompleta, in 2 anche e in 3 sto dicendo una cosa completa, corretta ma, di fatto, inutile perché ovvia, essendo null'altro che la presentazione sciolta del teorema.
Diciamo che fare un discorso del genere è utile se si vuole chiarire a chi ci ascolta o ci legge cosa stiamo per fare nella dimostrazione (ovvero una cosa del tipo "Ragazzi per dimostrare che quel lemma è vero è necessario che siano provati (1) e (2)"), ma null'altro: se lo dici a un insegnante il commento più ovvio che ne può seguire è "E grazie tante!".
Per quanto riguarda la lettura di quello che ho scritto, non si legge in alcun modo particolare: \(\forall\) è il quantificatore universale e si legge per ogni e \(\iff\) è un connettivo logico che rappresenta l'equivalenza logica di due predicati e si legge se e solo se o anche è equivalente a; gli altri simboli li hai già usati, quindi suppongo che tu sappia come vanno letti. Ergo quello che ho scritto si legge per ogni \(a\) appartenente a \(\mathbb{N}_{0}\), esistono degli elementi \(b\) e \(c\) di \(\mathbb{N}\) tali che \(a=f(b,c)\) se e solo se esiste un elemento \(m\) di \(\mathbb{N}\) tale che \(m \geqslant 1\) e \(m \mid a\).
Per quanto riguarda l'equivalenza delle due espressioni (quelle che ho quotato dal tuo ultimo post) in sé, ovviamente l'una vale l'altra: sono esattamente la stessa cosa, solo sono scritte con simbolismi diversi nel senso che un simbolismo (il secondo) sintetizza l'altro (il primo) e, a dire il vero, lo fa anche in un modo un pochino barbaro, nel senso che non si capisce più la questione inizia con \(a\) o con \(m\) (o almeno a me da questa impressione).
P.S.
Curiosità tutta personale: a che serve questo lemma? Lo chiedo perché è banale che un numero naturale abbia dei divisori, così come è banale che possa essere riscritto in funzione di altri due generici ma opportuni numeri naturali.
Ciao WiZaRd ,
allora in realtà questa mia domanda è in correlazione con questo mio topic :
dimostrazione-utf-vincolata-t82982.html
Il lemma in questione non ha una precisa finalità , se non quella di imparare a scrivere
formalmente una data affermazione .
La $a$ in realtà è una potenza
Il modo $z$ sta per $a^n= b^n + c^n$
e la caratteristica $1<= m|a$ sta per la caratteristica $y$ indicata nel topic di cui sopra .
Ovviamente , tale caratteristica $1<= m|a$ è priva di senso e non porta da nessuna parte
visto che ponendo $m=a$ si ha sempre che $1<= m|a$ ..
In pratica non mi è venuta ancora in mente l’idea originale di cosa sia la caratteristica $y$ ,
quindi ho utilizzata una cavolata di proprietà solo per “imparare” a formulare formalmente
un concetto .. : in questo senso la tua spiegazione è davvero notevole (appena compro la cartuccia la stampo) .
Certo potevo spiegare meglio il tutto , ma non volevo (ne voglio) mancare di rispetto a chi di professione cerca di dimostrare l’utf (o altre congetture simili) e
visto che in passato , quando esplicitamente parlavo di tentare di voler dimostrare una data congettura , ho denotato nelle risposte di alcuni un certo senso di “fastidio” .. adesso sto
molto più attenta , .. appunto per non “infastidire” nessuno .
Anche se sono consapevole che non ho nessuna probabilità di dimostrare alcunché ,
il solo “sogno” di poterlo dimostrare porta con se un senso di “felicità” paragonabile
a quanto sotto sottendeva Leopardi nel “Il sabato del villaggio” :
la felicità per certa versi è più intensa nella vigilia che nel giorno della festa ,
nel mio caso , nel sogno stesso , oltre che nell’improbabile (per non dire impossibile) realizzazione del medesimo sogno .
Dimenticavo una cosa importantissima : Grazie !
allora in realtà questa mia domanda è in correlazione con questo mio topic :
dimostrazione-utf-vincolata-t82982.html
Il lemma in questione non ha una precisa finalità , se non quella di imparare a scrivere
formalmente una data affermazione .
La $a$ in realtà è una potenza
Il modo $z$ sta per $a^n= b^n + c^n$
e la caratteristica $1<= m|a$ sta per la caratteristica $y$ indicata nel topic di cui sopra .
Ovviamente , tale caratteristica $1<= m|a$ è priva di senso e non porta da nessuna parte
visto che ponendo $m=a$ si ha sempre che $1<= m|a$ ..
In pratica non mi è venuta ancora in mente l’idea originale di cosa sia la caratteristica $y$ ,
quindi ho utilizzata una cavolata di proprietà solo per “imparare” a formulare formalmente
un concetto .. : in questo senso la tua spiegazione è davvero notevole (appena compro la cartuccia la stampo) .
Certo potevo spiegare meglio il tutto , ma non volevo (ne voglio) mancare di rispetto a chi di professione cerca di dimostrare l’utf (o altre congetture simili) e
visto che in passato , quando esplicitamente parlavo di tentare di voler dimostrare una data congettura , ho denotato nelle risposte di alcuni un certo senso di “fastidio” .. adesso sto
molto più attenta , .. appunto per non “infastidire” nessuno .
Anche se sono consapevole che non ho nessuna probabilità di dimostrare alcunché ,
il solo “sogno” di poterlo dimostrare porta con se un senso di “felicità” paragonabile
a quanto sotto sottendeva Leopardi nel “Il sabato del villaggio” :
la felicità per certa versi è più intensa nella vigilia che nel giorno della festa ,
nel mio caso , nel sogno stesso , oltre che nell’improbabile (per non dire impossibile) realizzazione del medesimo sogno .
Dimenticavo una cosa importantissima : Grazie !
Prego.
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